Интеграл функций многих переменных.

Кратные интегралы.

Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

 

Двойные интегралы.

 

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

 

y

 

0 x

 

 

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

 

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dхi, а по оси у – на Dуi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

 

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = Dxi × Dyi .

 

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Di, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.

 

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интеграломот функции f(x, y) по области D.

 

 

С учетом того, что Si = Dxi × Dyi получаем:

 

 

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:

 

Условия существования двойного интеграла.

 

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

 

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует.

 

 

Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

 

Свойства двойного интеграла.

 

 

1)

 

2)

 

3) Если D = D1 + D2, то

 

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

 

 

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .

 

6) Если f1(x, y) £ f2(x, y), то .

 

7) .

Вычисление двойного интеграла.

 

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

 

y y = y(x)

 
 

 


D

 

y = j(x)

 

a b x

 

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

Замена переменных в двойном интеграле.

Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j1(x) до j2(х).

Положим х = f(u, v); y = j(u, v)

 

Тогда dx = ; dy = ;

 

 

 

т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.

 

, т.е.

пожставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:

 

Выражение называется определителем Якобиили Якобианомфункций f(u, v) и j(u, v).

 

(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)

 

Тогда

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

Двойной интеграл в полярных координатах.

Воспользуемся формулой замены переменных:

При этом известно, что

В этом случае Якобиан имеет вид:

 

 

 

Тогда

Здесь t - новая область значений,

 

 

Криволинейные интегралы.

 

Определение. Кривая () называется непрерывной кусочно – гладкой, если функции j, y и g непрерывны на отрезке [a,b] и отрезок [a,b] можно разбить на конечное число частичных отрезков так, что на каждом из них функции j, y и g имеют непрерывные производные, не равные нулю одновременно.

 

Если определено не только разбиение кривой на частичные отрезки точками, но порядок этих точек, то кривая называется ориентированннойкривой.

Ориетированная кривая называется замкнутой, если значения уравнения кривой в начальной и конечной точках совпадают.

 

Рассмотрим в пространсве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена произвольная функция .

Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим произведение значения функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка.

 

Сложив все полученные таким образом произведения, получим так называемую интегральнуюсумму функции f(x, y, z).

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВили криволинейным интегралом первого рода.

 

 

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

 

1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

 

2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

 

3) Криволинейный интерал от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

 

4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то

 

5) Если в точках кривой АВ

то

 

6) Справедливо неравенство:

 

7) Если f(x, y, z) = 1, то

S – длина дуги кривой, l - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ.

 

8) Теорема о среднем.

Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x1, y1, z1) такая, что

 

Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),

a £ t £ b, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = a, а точке В соответствует t = b. Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.

Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле

(См. Вычисление длины дуги кривой.):

Длина всей кривой АВ равна:

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:

 

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.

 

 

Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии

 

 

 

Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением то получаем:

 

Криволинейные интегралы второго рода.

 

Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на плоскости ХОY), а точка P(x, y, z) – произвольная функция, определенная на этой кривой. Разобьем кривую точками на конечное число частичных дуг. И рассмотрим сумму произведений значений функции в каждой точке на длину соответствующей частичной дуги.

;