Основные теоремы теории вероятности.
1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Доказательство: пусть n-общее число возможных элементарных исходов опыта, m-число исходов, благоприятствующих событию A, k-число исходов, благоприятствующих событию B. Изобразим наглядно схему случая.
,
Т.к. события A и B несовместны , то нет таких исходов , которые благоприятствуют и A и B вместе.
Поэтому число исходов , благоприятствующие событию A+B=m+k.
Замечание: для любого числа попарно несовместных событий , теорема формируется аналогично.
Пример.
При стрельбе вероятность сделать отличный выстрел 0,3 ; хорошо-0,4, какова вероятность сделать выстрел не ниже хорошо? Обозначим A-отлично, B-хорошо, C-полученные оценки не ниже хорошо, тогда C=A+B, причем A и B несовместны. По теореме C=0,4+0,3=0,7.
Рассмотренная теорема сложения применима только к несовместным событиям. Это положение очень важно; без него теорема сложения становится неверной, и применение ее приводит к грубым ошибкам.
Например: Пусть два стрелка стреляют в цель одновременно, причем для первого стрелка вероятность попадания в цель равна 0,8, а для второго-0,7. Какова вероятность поражения цели?
Если к решению этой задачи применить рассмотренную выше теорему сложения , то найдем, что искомая вероятность равна 0,8+0,7=1,5- результат явно нелепый, т.к. знаем , что вероятность события не может быть больше 1. К этому неверному ответу пришли потому, что применили теорему к такому случаю, в котором рассматриваются совместные события. Ибо вполне возможно, что оба стрелка поразят цель при одном и том же двойном выстреле.
Теорема сложения вероятностей в общем случае: вероятность суммы событий равна сумме вероятностей минус вероятность произведения этих событий.
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A×B)
Доказательство:
Пусть имеется n-исходов , которые благоприятствуют событию A, k-событию B, l -исходов событию AB, сумме благоприятствуют (m+k)-l
Если A и B несовместные события , то P(A×B)=0