Полигон и гистограмма

Эмпирическая функция распределения

Статистическое распределение выборки

Тема 4. Выборочный метод

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборка х₁, х₂, ..., х_k объема n. Наблюдавшиеся значения х_i признака X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, − вариационным рядом.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант х_i вариационного ряда и соответствующих им частот n_i (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот w_i (сумма всех относительных частот равна единице).

Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < х:

F*(x) = n_x /n,

где n_x − число вариант, меньших х; n − объем выборки.

Эмпирическая функция обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0; 1].

Свойство 2. F*(х) − неубывающая функция.

Свойство 3. Если x_i − наименьшая варианта, а х_k − наибольшая, то F*(x) = 0 при х ≤ x₁ и F*(x) = l при х > x_k.

А. Дискретное распределение признака X. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (х₂, n₂), .... (х_k, n_k), где x_i − варианты выборки и n_i − соответствующие им частоты.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁; w₁), (x₂; w₂), ..., (x_k; w_k), где x_i − варианты выборки и w_i − соответствующие им относительные частоты.

Б. Непрерывное распределение признака X. При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят n_i − сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению n_i / h (плотность частоты). Площадь частичного i-го прямоугольника равна h×(n_i / h) = n_i − сумме частот вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки n.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению w_i / h (плотность относительной частоты). Площадь частичного i-гo прямоугольника равна h×(w_i / h) = w_i − относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.