Числа в форме с плавающей запятой

Числа в форме с ПЗ (или в нормальной (полулогарифмической) форме) представляются в виде:

X = ± mq^±p,

где m – мантисса числа X, р – порядок числа, q – основание системы счисления

Рис. Форма представления чисел с плавающей запятой

Диапазон и точность представления чисел с ПТ зависят от числа разрядов, отводимых под порядок и мантиссу, также от основания используемой системы счисления ( в двоичной системе 10^-19< abs X < 10⁺¹⁹; в шестнадцатеричной системе 10^-76< abs X < 10⁺⁷⁶ ).

Как видно из рисунка, имеется два знаковых разряда, что достаточно неудобно. В связи с этим, с целью выделения дополнительного разряда под порядок и упрощения операций над ними, порядки приводят к целым положительным числам, применяя так называемый смещенный порядок. Для этого к истинному порядку добавляется целое положительное число - смещение (если смещение 128, то порядок -3 представляется как 125 (-3+128). Обычно смещение выбирается равным половине представимого диапазона.

Рис. Форма представления чисел с плавающей запятой со смещенным порядком

В памяти ЭВМ вещественные числа (с ПЗ) хранятся в нормализованном виде. При этой форме записи модуль мантиссы ½q½< 1, а первая цифра после точки отлична от нуля.

Если первые i цифр мантиссы равны нулю, то для нормализации, её необходимо сдвинуть относительно точки на i разрядов влево с одновременным уменьшением порядка на i единиц. При этом само число не изменится.

Пример: 0,0001110*2¹⁰⁰ - число до нормализации

0,1110*2⁰⁰¹ - число после нормализации

Для повышения точности представления мантиссы (за счет увеличения количества разрядов, отводимых под мантиссу) используется метод скрытой единицы. Суть его в том, что так как все числа с ПЗ хранятся в памяти в нормализованном виде, то старшая цифра всегда равна 1 и поэтому запись мантиссы начинают со второго числа, что дает возможность использовать дополнительный разряд и тем самым повысить точность её представления. При выполнении арифметических операций, скрытая единица автоматически восстанавливается, а после получения результата – удаляется.

Пример: 0, 10001011(1) – без использования скрытой единицы

0, 00010111 – при использовании скрытой единицы

Для повышения точности вычислений увеличивают количество разрядов отводимых под мантиссу.

Рис. 32 – разрядный формат чисел с ПЗ

Значения смещенного прядка находятся в диапазоне от 0 до 255 (разряды 1-8). Для получения фактического порядка необходимо из смещенного порядка вычесть 128. В этом случае имеем диапазон порядка от - - 128 до + 127. Поле мантиссы имеет 23 разряда, а при использовании скрытой единицы оно составит уже 24 разряда.

-2³¹ 0 2³¹-1

Рис. Диапазон представления целых чисел с ФЗ (32 разряда)

-(1-2^-24)*2¹²⁷ -0,5*2^-128 0 0,5*2^-128 (1-2^-24)*2¹²⁷

Рис. Диапазон представления чисел с ПЗ (32 разряда)

Для случая чисел с ПЗ возможны следующие диапазоны:

· Отрицательные числа между -(1-2^-24)*2¹²⁷ и -0,5*2^-128

· Положительные числа между 0,5*2^-128 и (1-2^-24)*2¹²⁷

Не входят в указанный диапазон:

· Отрицательные числа, меньшие чем -(1-2^-24)*2¹²⁷ - отрицательное переполнение

· Отрицательные числа, большие чем -0,5*2^-128 - отрицательная потеря значимости

· Положительные числа, меньшие чем 0,5*2^-128 – положительная потеря значимости

· Положительные числа, большие чем (1-2^-24)*2¹²⁷ – положительное переполнение

Для записи нулевого значения для чисел с ПЗ используется специальная кодовая таблица.

Переполнение возникает в том случае, когда после выполнения арифметической операции получается значение, у которого порядок больше 127 (например 2²⁰⁰).

Если получается число, близкое к нулю, то возникает потеря значимости (например 2^-200). Этот результат число воспринимается как нулевой.

Если увеличивать количество разрядов под порядок без увеличения числа разрядов под мантиссу, то это приведет к потере точности. Для этого числа представляются в формате двойного слова.