Плоская система сил

Момент силы относительно центра

Условие равновесия пар

Доказательство.

Пусть дана пара сил ( , ) с плечом АВ. Разложим силу на составляющие и , тогда , следовательно, имеем новую пару ( ).

На плече AC пара ( ) эквивалентна паре ( , ), причем для любой пары плечо AC удовлетворяет условию или . Теорема доказана.

Таким образом, задаваясь плечом, можно определить , и наоборот.

Теорема.Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные моменты, статически эквивалентны.

Эту теорему доказывать не будем, т.к. она является следствием двух предыдущих теорем.

Совокупность пар называется системой пар.

Теорема.Система пар, расположенных в одной плоскости, эквивалентна одной паре с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство. Возьмем две пары ( , ) и ( , ), произвольно расположенные на плоскости. Приведем их к одинаковому плечу d. Согласно аксиоме А 3, силы , и , можно алгебраически сложить: ; . Силы и равны по величине и противоположны по направлению, следовательно, это новая пара с моментом , эквивалентным двум данным парам.

Нетрудно заметить, что . Это значит, что или (момент каждой пары должен быть взят со своим знаком).

Так как взятую систему пар, расположенных в одной плоскости, можно заменить одной парой, то для равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю:

.

Пусть дана сила F и точка O. Опустим из точки O перпендикуляр на линию действия силы F. Перпендикуляр h называется плечом действия силы F.

Моментом силы относительно произвольно выбранного центра называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор самой силы.

Величина момента силы F относительно центра (точки) O равна взятому со знаком плюс или минус произведению величины силы на длину плеча:

.

Знак «+» в случае, если мысленный поворот тела от действия силы происходит против часовой стрелки; знак «–» – по часовой стрелке.

Точка (центр), относительно которой определяется момент силы, называется моментной.

Момент силы относительно точки равен нулю, если плечо силы равно нулю ( ), т.е. моментная точка лежит на линии действия силы.

Теорема Пуансо о переносе силы.Всякая сила, приложенная в данной точке A, эквивалентна той же самой силе, приложенной в другой точке B и паре с моментом, равным моменту силы, приложенной в точке A, относительно точки B.

Доказательство. Пусть задана сила , приложенная в точке A. В произвольной точке B приложим уравновешенную систему ( , ), эквивалентную нулю, причем . Таким образом, силы и образуют пару. Итак, сила эквивалентна и паре ( , ), причём момент пары равен моменту силы относительно точки B.

Эта теорема позволяет привести все силы, действующие в плоскости, к одному центру.