Векторные и скалярные поля

Векторное поле характеризуется такими величинами, как дивергенция, ротор, поток, циркуляция.

Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина , а его ротором вектор – функция вида

Потоком векторного поля через поверхность σ в направлении нормали называется значение поверхностного интеграла

где единичный нормальный вектор поверхности . , , углы между и соответственно. Вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла. Пусть уравнение поверхности σ можно написать в виде Через обозначим проекцию σ на плоскости . Тогда

(41)

При этом перед двойным интегралом берется знак плюс, если . аналогично вычисляются интегралы

и приведенные в правой части (40).

Циркуляцией векторного поляназывается криволинейный интеграл по замкнутой кривой

Теорема Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой кривой и его ротором.

, (42)

где σ- поверхность, ограниченная кривой - единичный нормальный вектор к этой поверхности. Направление вектора и обхода контура должны быть согласованы. Формула (42) связывает также криволинейный и поверхностный интегралы.

Теорема Остроградского выражает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали и дивергенцией поля:

(43)

где – тело , ограниченное поверхностью σ.

Лекция 47,48