Уравнение для угловой части
Угловая часть волновой функции находится из уравнения
(5.18)
Записывая явный вид оператора Лежандра, имеем
. (5.19)
Перепишем (5.19) в виде
. (6.16)
Итак, при отличны от нуля. Это означает, что при измерении энергии системы мы теперь будем получать не только , но и любые другие собственные значения с вероятностью ≠0 .
Система будет находиться в состоянии
,
энергия которого неопределенна и .
§6.3. “Золотое ” правило Ферми
Рассмотрим случай гармонического возмущения . Тогда матричный элемент возмущения . Вычислим
. (6.17)
Если то первым членом можно пренебречь и после несложных преобразований получить вероятность перехода из состояния n в состояние m
(6.18)
В пределе функция . Известно, что для функции Дирака имеет место равенство . С учетом этого свойства
. (6.19)
Самым важным здесь является то, что вероятность перехода пропорциональна времени. Другими словами, вероятность перехода в единицу времени
(6.20)
пропорциональна квадрату соответствующего матричного элемента. Последнее выражение получило название “золотого ” правила Ферми.
Приложение 1. Волновая функция системы многих частиц в формализме чисел заполнения.
Рассмотрим полный гамильтониан системы N тождественных невзаимодействующих фермионов ,
частным решением которого является произведение
,
где - ортогональная система собственных функций одночастичного уравнения Шредингера .
Так как мы имеем дело с системой тождественных фермионов, то её волновая функция должна менять знак при перестановке любой пары частиц. Этого можно добиться, представив волновую функцию в виде детерминанта Фока - Слэтера
(П1.1)
Индекс нумерует одночастичные состояния. Если два любых индекса совпадают, то волновая функция обращается в ноль. Как правило, используется стандартная последовательность - Для краткости выражение (П1.1) записывается в форме
, (П1.2)
где символ обозначает число частиц, находящихся в собственном состоянии i с волновой функцией . Числа называются числами заполнения, а (П1.2) – записью координатной части волновой функции многих частиц в представлении чисел заполнения. Для фермионов все числа заполнения могут принимать только два значения 0 и 1. Важно отметить, что, так как образуют полную ортогональную систему собственных функций, то детерминанты Фока – Слэтера также образуют полную ортогональную систему функций. Для бозонов числа заполнения могут принимать любые значения 0,1, 2,….
Формализм чисел заполнения особенно удобен, когда полное число частиц N может изменяться от 0 до ∞. Система базисных функций для этого случая показана в Табл.1.
Таблица 1.
| N | ||
| … | ||
| и т.д. |
Состояние без единой частицы называется истинным “вакуумом”. Совокупность всех функций образует полную ортогональную систему в обобщённом гильбертовом пространстве, где число частиц переменно.
До сих пор мы рассматривали только систему независимых фермионов. В присутствии взаимодействия многочастичные волновые функции должны выражаться в виде линейных комбинаций типа
(П1.3)
Приложение 2. Операторы в формализме чисел заполнения (вторичного квантования).
Представим себе исходную систему, которая находится в состоянии = Пусть теперь эта система подверглась внешнему воздействию , в результате которого она перешла в состояние . Другими словами, действие оператора сводится в уничтожению частицы в одном состоянии и создании (рождении) частицы в другом. Чтобы описать все воздействия в системе, вводят два основных оператора: оператор уничтожения который уничтожает частицу в состоянии , и оператор рождения , который рождает частицу в состоянии .
Для фермионных операторов вводятся правила:
(П2.1)
Отсюда следует, например, что:
= 0,
Все состояния можно получить, действуя операторами на функцию основного состояния
.
Из (П2.1) следует, что операторы и “эрмитово сопряжены” друг с другом, т.е.
, (П2.2)
где знак “ ” соответствует эрмитову сопряжению. Отсюда следует, что сами операторы и неэрмитовы и поэтому не отвечают наблюдаемым переменным. Легко показать, что оператор , который называется оператором числа частиц, является эрмитовым оператором. Оператор полного числа частиц также эрмитов. В общем случае, из (П2.1) следует, что
(П2.3)
Для фермионных операторов рождения и уничтожения выполняются коммутационные соотношения:
(П2.4)
В коммутационных соотношениях уже заложены свойства антисимметрии волновой функции по отношению к перестановкам частиц.
Все операторы квантовой механики можно записать в виде различных комбинаций этих двух операторов. Для этого потребуем равенства матричных элементов оператора, вычисленных в формализме чисел заполнения (вторичного квантования), и в обычном формализме квантовой механики. Тогда одночастичный оператор с матричными элементами
в представлении чисел заполнения будет иметь вид
= . (П2.5)
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть
.
Аналогичным образом показывается, что двухчастичный оператор (потенциал межэлектронного взаимодействия
)
принимает вид
= , (П2.6)
где