Оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат

Оператор момента импульса в сферической системе координат

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента импульса

(4.1)

, (4.2)

где проекции оператора момента импульса:

(4.3)

Вычислим коммутатор двух проекций момента импульса, используя известное нам соотношение коммутации :

(4.4)

Для остальных проекций момента импульса получаем:

(4.5)

Так как коммутаторы в (4.5) отличны от нуля, то две любые проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения. Следовательно, и вектор момента импульса не имеет определенного направления в пространстве. Кроме соотношения (4.5), выполняются следующие правила коммутации, которые в сжатом виде можно представить, как ( ):

, (4.6)

Здесь – единичный псевдотензор третьего ранга. Он равен нулю, если любая пара индексов совпадает, равен единице в случае и меняет знак при перестановке соседних индексов Рассмотрим теперь более подробно оператор . Введём операторы , , для которых имеют место соотношения:

, , . (4.7)

В терминах этих операторов квадрат момента импульса

(4.8)

Из (4.8) и (4.7) сразу же следует, что . Таким образом, в квантовой механике векторная величина момента импульса не может иметь определенного значения. Определенное значение имеют одновременно абсолютная величина момента импульса (квадрат момента импульса сохраняется) и одна из его проекций, которая не может совпадать с модулем

Поскольку нас будет интересовать приложение теории момента импульса к движению частицы в центральном поле, то необходимо определить его в сферической системе координат (r,q,j):

(4.9)

Пусть меняется только одна координата - угол j, т.е. осуществляется вращение вокруг оси Z, тогда

(4.10)

Решим уравнение на собственные значения и собственные функции оператора проекциимомента импульса .

(4.11)

Решением этого уравнения является функция

(4.12)

Понятно, что функция должна остаться той же (без учета спина) при повороте на 2p, т.е. Подставляя сюда (4.12), получаем , откуда следует, что

(4.13)

Число m определяет проекцию момента импульса частицы L_z и называется магнитнымквантовым числом. Подставляя (4.13) в (4.12), получаем Коэффициент А определяем из нормировки собственной функции:

Легко видеть, что собственные функции ортонормированны –

Итак, проекция момента импульса на произвольное выделенное направление Z квантована, т.е. она может принимать только значения, кратные значениям h. Остальные две проекции момента импульса не определены.

В сферической системе координат, используя (4.9), можно получить:

,

. (4.14)

Собственные числа оператора удается найти, используя только известные соотношения коммутации. Для этого перепишем (4.11) в обозначениях Дирака ( )

и рассмотрим

. (4.15)

Полученное равенство означает, что волновая функция также является собственной функцией оператора , но отвечающей собственному числу (m+1). Другими словами, она пропорциональна функции . Так проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, то число m ограничено сверху. Обозначим максимальное значение проекции момента импульса символом L, тогда из предыдущего выражения следует, что

. (4.16)

Подействуем на (4.16) слева оператором . Тогда, используя (4.8), получаем . Так как - общая собственная функция операторов и , то

(4.17)

Здесь , как и m - целое число. Поэтому:

, L = 0, 1, 2, 3,….; m = L, L-1, L-2, …0, -1, ….-L .

Итак, мы нашли собственные значения оператора , не решая сложного дифференциального уравнения в частных производных.

Глава 5. Физика атомов