Задачі для ЗАКРІПЛЕННЯ лекційного матеріалу

Контрольні запитання до матеріалу лекції

1. Що таке «прямі вимірювання»?

2. Що таке «непрямі вимірювання»?

3. Що таке «скупні вимірювання»?

4. Що таке «сумісні вимірювання»?

5. Якими, на Вашу думку, є джерела похибок?

6. Чи можливі, принципово, безпохибкові вимірювання?

7. Сформулюйте своє розуміння поняття «істинне значення вимірюваної величини».

8. Що таке «клас точності» вимірювального приладу?

9. Дайте визначення поняттю «абсолютна похибка вимірювання».

10. Що таке «відносна похибка вимірювання»?

11. Що таке «адитивна похибка вимірювального приладу»? Дайте приклади.

12. Що таке «мультиплікативна похибка вимірювального приладу»?

13. Що таке «методичні похибки»?

14. Що таке «інструментальні похибки»?

15. Що таке «апаратурні похибки»?

16. Що таке «суб‘єктивні похибки»?

17. Що таке «зовнішні похибки»?

18. Що таке «систематичні похибки»? Якими вони бувають?

19. Що таке «випадкові похибки»?

20. Що таке «грубі похибки»?

21. Що таке «промахи»?

22. Що таке «нормалізований» вигляд представлення числових результатів вимірювань?

 

Задача 2.1. У ванній кімнаті поклали новенький брикетик мила. Рівно через тиждень розміри цього брикетика зменшилися вдвічі. На скільки днів ще вистачить мила у ванній кімнаті?

Розв‘язок:

с   0,5с   b 0,5b a 0,5a На рисунку наведено вигляд новенького брикетика мила (зліва) та яким він став через тиждень (справа). Обрахуємо об‘єми обох брикетиків:  

 

 

– щойно купленого: Vн = a.b.c;

– через тиждень (після семи днів користування): Vс = 0,5a..0,5b.0,5c = 0,125.а.b.c ;

Як видно з обрахунків, через 7 днів від брикетика залишилася лише одна восьма частина його початкового об‘єму. А 7/8 частин початкового об‘єму брикетика було змилено протягом цих 7 днів, тобто, щодня змилювалося по 1/8 його частині. З цього неважко зробити висновок, що мила вистачить ще рівно на один день.

 

Задача 2.2. Покази ввімкненого в мережу стрілкового вольтметра класу точності 2 з верхньою межею шкали 300 В, склали 220 В. Запишіть коректно результат вимірювання.

Розв‘язок:

Нагадаємо, що клас точності К вимірювального приладу — це задане у відсотках відношення допустимої (максимально можливої) основної абсолютної похибки вимірюваль­ного приладу в робочій частині шкали до верхньої межі діапазону вимірювань. Розрахуємо значення допустимої основної абсолютної похибки вольтметра DU для нашого випадку:

Підкреслимо, що це отримане значення абсолютної похибки вимірювань, хоча і розраховувалося для максимального значення шкали, але воно стосується будь-якого значення шкали напруги. Так, при вимірюванні на цьому діапазоні значення напруги 30 В, значення допустимої основної абсолютної похибки буде тим же, тобто, відносна похибка вимірювання в цьому разі складе вже не 2, а 20 %. Стосовно конкретного випадку вимірювання, сформульованому в умові задачі, результат вимірювання може бути представленим у вигляді:

Uвим = 220±6 В,

а отже, істинне значення вимірюваної напруги лежить в межах: від 214 В до 226 В, тобто:

Uвим Î (226¸214) В,

а якщо врахувати, що відносна похибка вимірювання складе в такому разі 6/220 або 2,7 %, то можна ще й таким чином коректно представити результат вимірювання:

Uвим = (220±2,7%) В

 

Задача 2.3. На корпусі резистора написано: 6к8 ± 5 %. Якою є величина опору цього резистора?

Розв‘язок: Очевидно, номінальне значення опору цього резистора Rном складає 6,8 кОм. А запис ± 5 % визначає гранично припустиме значення відносної похибки dR, як відношення максимально можливого відхилення значення опору цього резистора DR від його номінального значення допустимі межі відхилення реального опору цього резистора від його номінального значення: DR = dR.Rном.= 0,05.6,8 = 0,34 кОм. Таким чином, реальне значення опору цього резистора може бути записаним у такому вигляді:

R = (6,8 ± 5 %) кОм,

або:

R = (6,8 ± 0,34) кОм,

або:

R Î (7,14 ¸ 6,46) кОм,

 

Задача 2.4. Два резистори із попередньої задачі (на корпусі кожного з яких написано: 6к8 ± 5 %) з‘єднали послідовно. Як записати сумарний опір такого з‘єднання?

Розв‘язок: Оскільки при послідовному з‘єднанні резисторів їх опори додаються, а в нашому випадку – подвоюються, то, очевидно:

Rсум = 2R = 2.(6,8 ± 0,34) = (13,6 ± 0,68) кОм

або:

Rсум = (13,6 ± 5 %) кОм

або:

R Î (14,28 ¸ 12,92) кОм,

Задача 2.5. Два резистори із попередньої задачі 2.3 (на корпусі кожного з яких написано: 6к8 ± 5 %) з‘єднали паралельно. Як записати сумарний опір такого з‘єднання?

Розв‘язок: Оскільки при паралельному з‘єднанні резисторів додаються їх провідності, то в нашому випадку двох однакових резисторів, їх сумарний опір буде вдвічі меншим, ніж опір одного:

Rсум = R/2 = (6,8 ± 0,34)/2= (3,4 ± 0,17) кОм

або:

Rсум = (3,4 ± 5 %) кОм

або:

R Î (3,57 ¸ 3,23) кОм,

 

Задача 2.6. В склянці, вщерть наповненій водою, плаває шматочок льоду. Як зміниться рівень води в склянці, коли весь лід розтане?

Розв‘язок: Проілюструємо умову задачі рисунком.

Використовуючи закон Архімеда, запишемо умову плавання льоду:

(1)

де – маса льоду; – маса води, витісненої льодом; g = 9,8 м/с2 – прискорення вільного падіння тіл біля поверхні Землі.

Перепишемо (1) у такому вигляді:

(2)

де: і – густина льоду і води; – об‘єм льоду; – об‘єм води, витісненої льодом.

З іншого боку, маса води, що утворюється при таненні льоду, очевидно ж дорівнює початковій масі льоду. Сказаному можна надати такого вигляду:

(3)

Із порівняння рівнянь (2) і (3) витікає, що , а отже, можна стверджувати, що об‘єм води, яка утворюється при таненні всього шматочка льоду, що плавав у склянці, є точно таким же, як і об‘єм тої частини шматочка льоду, яка занурена в воду. Або іншими словами, об‘єм води, яка утворюється при таненні льоду, точно дорівнює тому об‘єму води, який витісняється льодом, що плаває у ній. А це означає, що при таненні шматочка льоду, що плаває в склянці, рівень води в цій склянці не змінюється.

 

Задача 2.7. Заокругліть до трьох значущих цифр наступні записи результатів вимірювання та подайте їх в нормалізованому вигляді та використовуючи дольні або кратні одиниці системи СІ:

а) F = 1999999999999999 Гц;

б) С = 0,0000000000005888888888 Ф;

в) 299999999999 Å;

г) 20 годин 19 хвилин 31 секунда;

д) 1,35 пс;

е) 2,5789 фм;

є) 7863989 мкм.

Розв‘язок:

а) F = 199999999999999 Гц = 2,00.1014 Гц = 200 ТГц;

б) С = 0,000000000005888888888 Ф = 5,89.10-12 Ф = 5,89 пФ;

в) 299999999999 Å = 3,00.1011 Å = 30,0 м;

г) 20 годин 19 хвилин 31 секунда = 2,37.103 с = 2,37 кс.;

д) 1,35 пс = 1,35.3,086.1016 м = 4,16.1016 м = 4,16.1013 км = 41,6 Пм;

е) 2,5789 фм = 2,58.10-15 м;

є) 7863989 мкм = 7,86 м.

 

Задача 2.8. Для непрямих вимірювань опорів резисторів користувалися вольтметром з внутрішнім опором 11 кОм та амперметром, внутрішній опір якого складав 0,11 Ом. Визначте діапазон значень опорів, похибка при вимірюваннях яких не перевищуватиме 1 %.

Розв‘язок: Оскільки в умові задачі нічого не сказано про те, який варіант схеми ввімкнення вимірювальних приладів слід застосовувати, розглянемо обидва можливих варіанти.

а) з безпохибковим вимірюванням напруги

Варіант цієї схеми вимірювання представлений на рисунку 2.8 а. Очевидно, що в цій схемі вольтметр по-

показує саме ту напругу, яка дійсно є на резисторі Rx, тоді як амперметр показує сумарний струм, одна складова якого протікає через вимірюваний резистор, а друга – через вольтметр. зрозуміло, що коли ми, згідно з законом Ома, просто розділимо покази вольтметра на покази амперметра, то в результаті отримаємо сумарний опір паралельного з‘єднання опорівRV і RX. Очевидно, чим краще буде виконуватися нерівність RV > RX, тим меншою буде похибка таких вимірювань. Із сказаного зрозуміло також, що причиною похибки при використанні такої схеми вимірювання буде «неідеальність» вольтметра (RV < ∞). Тут же зауважимо, що «неідеальність» амперметра (RА > 0) жодним чином не впливає на похибку вимірювання. Дійсно, як видно з нашої схеми вимірювання (варіант а), струм, що безпосередньо протікає через амперметр, є тим же струмом, що протікає і через ввімкнене з ним послідовно вимірюване коло. Очевидно, що ця умова виконується за будь-якої величини внутрішнього опору амперметра.

Тоді запишемо вираз для відносної похибки визначення опору за результатами вимірювання згідно зі схемою за варіантом а):

Враховуючи умову задачі, можемо написати (на знак мінус, що стоїть перед дробом в останньому виразі, уваги не звертаємо):

Розв‘язуючи останню нерівність відносно RX, отримаємо:

Ом

Отже, згідно з даними із умови задачі, відносна похибка вимірювання опору за схемою ввімкнення приладів, що відповідає варіантові а), не буде перевищувати 1 % для всіх резисторів, опір яких не буде перевищувати 111 Ом.

б) з безпохибковим вимірюванням струму

Очевидно, що в цій схемі амперметр показує саме той струм, який протікає через резистор Rx, тоді як вольтметр показує сумарну напругу, одна складова якої падає на вимірюваному резисторі, а друга – на амперметрі. зрозуміло, що коли ми, згідно із законом Ома, просто розділимо покази вольтметра на покази амперметра, то в
Варіант цієї схеми вимірювання наведений на рис.2.8 б:

 

результаті отримаємо сумарний опір послідовного з‘єднання опорів. RАі RX. Очевидно, чим краще буде виконуватися нерівність RА < RX, тим меншою буде похибка таких вимірювань. Із сказаного зрозуміло також, що причиною похибки при такій організації схеми вимірювання буде «неідеальність» амперметра (RА > 0). Тут же зауважимо, що «неідеальність» вольтметра (RV < ∞) жодним чином не впливає на похибку вимірювання: покази вольтметра визначаються лише різницею потенціалів на його затискачах і ніяк не залежать від величини його внутрішнього опору.

Запишемо вираз для відносної похибки визначення опору за результатами вимірювання згідно зі схемою за варіантом б):

Враховуючи умову задачі, можемо написати:

Розв‘язуючи останню нерівність відносно RX, отримаємо:

Ом

Отже, згідно з даними із умови задачі, відносна похибка вимірювання опору за схемою ввімкнення приладів, що відповідає варіантові б), не буде перевищувати 1 % для всіх резисторів, опір яких буде більшим, ніж 11 Ом.