Типовые передаточные функции дискретных систем при использовании непрерывных корректирующих звеньев.

Рассмотрим методику построения типовой ЛАЧХ для дискретной системы при использовании экстраполятора нулевого порядка. Пусть асимптотическая ЛАЧХ непрерывной системы, удовлетворяющей требованиям точности воспроизведения задающего воздействия и требованиям по запасу устойчивости, имеет вид, изображенный на рис. 26.5,а. Изломы асимптотической ЛАЧХ определяются реальными постоянными времени апериодических звеньев, входящих в структуру системы (объект, исполнительные элементы, усилители и др.), и постоянными времени используемых в системе непрерывных корректирующих звеньев.

Выберем некоторое значение периода дискретности и проведем на логарифмической сетке вертикальную прямую на частоте . Тогда на основании особенностей ЛАЧХ дискретных систем вся асимптотическая ЛАЧХ непрерывной системы левее частоты перейдет в асимптотическую ЛАЧХ дискретной системы. Область частот от правого края запретной области по точности до частоты представляет собой область средних частот. Таким образом, и в области низких частот (в районе запретной области по точности), и в области средних частот построение ЛАЧХ дискретной системы не имеет никаких особенностей по сравнению с непрерывной системой (рис. 26.5,б).

Рисунок 26.5. Переход от непрерывной ЛАЧХ к дискретной

В области высоких частот, асимптотическая ЛАЧХ дискретной системы имеет последнюю асимптоту с нулевым наклоном. Сопряжение этой асимптоты со среднечастотной частью может быть различным, что показано на рис. 26.5,б в виде некоторой области сопряжения.

В дискретных системах с экстраполятором нулевого порядка эквивалентная постоянная времени, которая должна учитываться в формуле для малых постоянных времени, равна

где - сумма малых постоянных времени непрерывной части системы, - временное запаздывание.

Кроме того, должно проверяться отсутствие захода ЛАЧХ при в область, ограниченную прямой (рис. 26.6).

Рисунок 26.6 –К построению высокочастотной части ЛАЧХ

Изложенное выше позволяет сформулировать требования к типовым передаточным функциям разомкнутой дискретной системы. Выполнение этих требований гарантирует получение заданного запаса устойчивости. В низкочастотной и среднечастотной областях ЛАЧХ цифровой системы должна совпадать с какой-либо типовой ЛАЧХ. Высокочастотная часть ЛАЧХ должна удовлетворять требованиям по ограничению суммы малых постоянных времени.

В соответствии с классификацией типовых ЛАЧХ для статических систем здесь будут получаться ЛАЧХ типа 0—1—2—1—3...0, для систем састатизмом первого порядка - ЛАЧХ типа 1—2—1—3... ...0 и для систем с астатизмом второго порядка - ЛАЧХ типа 2—1—2 — 3...0.

Так как практически во всех случаях целесообразно иметь в дискретной системе наибольшее допустимое значение периода дискретности, то вертикальную линию на частоте следует стремиться расположить на асимптоте единичного наклона правее частоты среза (рис. 26.5, в).

В таблице 26.1 приведены типовые передаточные функции разомкнутых дискретных систем с экстраполяторами нулевого порядка, которым соответствует ЛАЧХ «симметричного» вида, для запаздывания и при выполнении условия максимизации периода дискретности.

Таблица 1. Типовые передаточные функции разомкнутых дискретных систем

Т и п	Порядок астатизма ν	ПФ непрерывной части	ЧХ дискретной системы с фиксатором нулевого порядка

Асимптотические ЛАЧХ, соответствующие типовым передаточным функциям таблицы 26.1, изображены на рис.26.7. Граничная частота для дискретных систем с экстраполятором нулевого порядка равна . В соответствии с классификацией здесь для статических систем получаются ЛАЧХ. типа 0 – 1 – 2 – 1 – 0, для систем с астатизмом первого порядка - ЛАЧХ типа 1 – 2 – 1 – 0 и для систем с астатизмом второго порядка - ЛАЧХ типа 2 – 1 – 0.

Наличие малого временного запаздывания не меняет вида типовых передаточных функций. Необходимо только учесть это запаздывание в общей сумме малых постоянных времени.

Анализируя типовые желаемые ЛАЧХ, изображенные на рисунке 26.7, видно, что низкочастотная часть этих ЛАЧХ имеет различную конфигурацию, которая определяется порядком астатизма системы.

Среднечастотный участок всех характеристик одинаков и имеет наклон -20 дБ/дек, а его протяженность и частота среза определяют запасы устойчивости системы (т.е. перерегулирование) и длительность переходного процесса.

Высокочастотная часть всех типовых ЛАЧХ одинакова и имеет наклон 0 дБ/дек.

Рисунок 7. Типовые желаемые ЛАЧХ дискретных систем

Для дискретных систем, имеющих типовые передаточные функции (табл.26.1), показатель колебательности не превышает заданного значения М, если при формировании желаемой ЛАЧХ выполняются следующие условия:

- в области частот до () должно выполнятся следующее соотношение:

, (26.1)

- в области частот больше () должно выполнятся следующее соотношение:

, (26.2)

Условие (26.1) полностью совпадает с аналогичными условиями для непрерывных систем, так как в области низких частот характеристики непрерывной и дискретной систем совпадают.

Условие (26.2) отличается от аналогичного для непрерывных систем, так как в области высоких частот характеристики непрерывной и дискретной систем существенно различаются. В области высоких частот типовые желаемые ЛАЧХ дискретных систем имеют наклон 0 дБ/дек, при этом граничная абсолютная псевдочастота определяется из выражения:

Период дискретности и суммарная инерционность определяются из выражения (26.2) по заданному значению показателя колебательности.

Пример 26.1. Рассмотрим систему с астатизмом второго порядка. Пусть передаточная функция непрерывной части имеет вид

.

Дискретная передаточная функция имеет вид:

Воспользуемся для расчета методом логарифмических частотных характеристик. Для этой цели применим подстановку

и перейдем к -преобразованию

Для перехода к частотной передаточной функции сделаем подстановку

.

В результате получим частотную передаточную функцию

.

Модуль этой величины

и фаза

По этим выражениям на рис. 26.8 построены асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ. Нетрудно видеть, что этот случай по расположению фазовой характеристики сводится к случаю ЛАЧХ типа 2—1—2. Используя формулы для непрерывных систем, получаем требуемую протяженность участка с наклоном -20 дб/дек в оптимальном случае:

. (26.3)

Базовая частота ЛАЧХ .

Рисунок 26.8. ЛЧХ дискретной системы к примеру 26.1.

Далее, имеем связь между постоянной времени и базовой частотой:

.

откуда находим общий коэффициент усиления

. (26.4)

Эту формулу можно записать также в следующем виде:

. (26.5)

Формулы (26.3) и (26.4) позволяют выбрать значения общего коэффициента усиления непрерывной части и постоянной времени при заданном значении периода повторения или определить значение периода повторения при заданном значении общего коэффициента усиления . Заметим, что в рассматриваемой системе коэффициенты ошибок и равны нулю, а общий коэффициент усиления равен добротности системы по ускорению:

.

Формула (26.5) дает возможность определить допустимое соотношение между добротностью по ускорению и периодом дискретности .

Пример 26.2.

Произведем расчет системы с астатизмом второго порядка по следующим исходным данным: максимальная скорость слежения Ω_max= 10 град/сек; максимальное ускорение слежения = 5 град/сек²; максимальная допустимая ошибка = 2 угл. мин.; период дискретности сек; непрерывная часть содержит постоянные времени Т₁ = 0,01 сек, Т₂ = 0,002 сек и Т₃ = 0,001 сек; допустимый показатель колебательности М = 1,5 и М = 1,2. Требуется определить параметры непрерывной части системы и допустимый период повторения ЦВМ.

Решим задачу вначале для случая Т₁ = Т₂ = Т₃ = 0 и М = 1,5. Передаточная функция непрерывной части разомкнутой системы, структурно устойчивой в замкнутом состоянии, должна иметь вид

где - постоянная времени, вносимая корректирующим звеном дифференцирующего типа.

Так как высокочастотная часть после частоты среза в рассматриваемом идеализированном случае представляет собой прямую с наклоном – 20 дб/дек, то вся частотная передаточная функция системы с ЦВМ может быть получена подстановкой , где - псевдочастота, и введением дополнительно множителя :

.

ЛАЧХ для нее построена на рис. 26.9.

Рисунок. 26.9 – Желаемая ЛАЧХ

На этом же рисунке построена запретная зона для ЛАЧХ на основании условий по точности. Базовая частота

сек^-1

Требуемое значение общего коэффициента усиления при совпадении первой асимптоты ЛАЧХ с границей запретной зоны

сек^-1.

В соответствии с расчетом, проделанным в предыдущем примере, для ЛАЧХ, изображенной на рис. 26.8, получаем требуемое значение постоянной времени

сек.

Частота среза ЛАЧХ

сек^-1.

В соответствии с формулой (без учета малых постоянных времени) получаем

сек.

откуда допустимый период дискретности сек. В случае учета постоянных времени Т₁, Т₂, Т₃ имеем

сек.

и допустимый период дискретности сек.

Аналогичные расчеты для случая М = 1,2 дают сек, сек^-1, и сек (при Т₁ = Т₂ = Т₃ = 0) и сек (при ).

На рис. 26.10 построены переходные процессы в дискретной системе, которые соответствуют различным значениям показателя колебательности.

Рисунок 26.10. Переходные процессы в скорректированной системе