Кінематичні формули Ейлера. Кутове прискорення тіла

Ці формули являють собою проекції вектора на осі рухомої або нерухомої с. к. Знайдемо проекції цього вектора (беручи до уваги формулу (6.4) і табл. 6.1) на осі рухомої системи координат:

.

(6.5)

Оскільки складові вектора мають вигляд

,

(6.6)

то підставляючи ці вирази у формулу (6.4), а потім в (6.5), матимемо

(6.7)

Якщо врахувати наступні співвідношення між ортами:

,

,

;

;

,

то формули (6.7) можна переписати у вигляді:

(6.8)

Це і є кінематичні формули Ейлера у проекціях на осі рухомої с. к. .

Для перевірки знайдемо модуль вектора кутової швидкості :

.

(6.9)

Напрямок вектора визначається напрямними косинусами

, , .

Шляхом диференціювання проекцій вектора кутової швидкості можна знайти проекції миттєвого кутового прискорення :

,

,

,

модуль вектора :

,

(6.10)

і його напрямні косинуси:

, , .

Зауважимо, що вектор напрямлений по дотичній до годографа вектора , але останній весь час змінює своє положення у просторі, тобто ці два вектора не напрямлені вздовж осі обертання і не є колінеарними (як це було у випадку обертання навколо нерухомої осі), - їх напрямки утворюють прямий кут.