Пересечение гранных поверхностей

Когда одна из них занимает проецирующее положение

Алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей,

Лекция №6. Пересечение поверхностей, одна из которых занимает частное положение в пространстве

Проецирующее положение по отношению к какой-либо плоскости поверхность занимает тогда, когда перпендикулярна к указанной плоскости. В этом случае на соответствующую плоскость она проецируется в линию.

Из рассматриваемых в этом курсе поверхностей по понятным причинам только две могут занимать проецирующее положение — призма и цилиндр. Тогда призма, боковая поверхность которой перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, на нее проецируется в замкнутую ломаную линию (многоугольник), а цилиндр — в окружность.

Исходя из этого алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей, одна из которых занимает частное (т.е. проецирующее), а другая общее положение, сводится к следующему:

1). Построить проекцию линии (линий) пересечения на той плоскости, по отношению к которой одна из поверхностей занимает проецирующее положение.

Решение на плоскости проекций, к которой поверхность перпендикулярна, уже имеется: линия пересечения совпадает с проекцией боковой поверхности пространственной фигуры (призмы или цилиндра), — т.к. линия пересечения принадлежит обеим пересекающимся поверхностям, в том числе и проецирующей поверхности.

2). Построить проекции линии (линий) пересечения на остальных плоскостях проекций.

Т.е. задача сводится к построению недостающих проекций линии (или линий) на поверхности общего положения, что достаточно подробно было рассмотрено в предыдущих разделах.

Этим решение задачи не исчерпывается, т.к. необходимо ответить еще на два вопроса: какие участки линии пересечения являются видимыми, а также изобразить видимость участков контурных линий пересекающихся поверхностей.

3). Определить видимость линии пересечения.

Решение этого вопроса базируется на следующем правиле: видимыми будут те участки линии пересечения (как, впрочем, и любой другой линии на поверхности), которые лежат на видимых участках пересекающихся поверхностей.

4). Определить видимость контурных (очерковых) линий самих поверхностей.

Эта задача решается исходя из определения конкурирующих точек, лежащих на соответствующих скрещивающихся контурных (очерковых) линиях.

При пересечении двух многогранников общим геометрическим элементом является замкнутая ломаная линия, состоящая из участков прямой, так как многогранники образованы из плоскостей, а линия пересечения плоскостей представляет собой прямую. Точки излома получаются в местах пересечения граней одного многогранника с ребрами другого.

В том случае, когда один из многогранников занимает частное положение (т.е. его боковые грани проецируются на одну из плоскостей проекций в многоугольник), задача построения линии их пересечения решается достаточно просто. Ввиду того, что одна из проекций многогранника – многоугольник, проекция линии пересечения на эту плоскость проекций совпадает с ним. Поскольку линия пересечения многогранников принадлежит каждому из них, то задача сводится к построению отсутствующих проекций ломаной линии, а следовательно, к построению проекций точек на поверхности многогранника и соединению из отрезками прямой. Заметим, что частное положение может занимать лишь призма, так как только ее можно расположить таким образом, чтобы боковые ребра, а значит, и грани были перпендикулярны плоскости проекций.

Рассмотрим описанные приемы построения на примере.

Пусть пересекаются пирамида и призма частного положения (рис. 6.1). Требуется построить проекции линии их пересечения.

Рис. 6.1. Построение линии пересечения пирамиды и призмы частного положения.

Поскольку призма расположена так, что все ее боковые грани перпендикулярны П₁, то на П₁ ее боковая поверхность проецируется в линию, точнее в треугольник D₁E₁F₁. И горизонтальной проекцией линии пересечения призмы DEFD*E*F* и пирамиды SABC является ломаная линия 1₁Е₁5₁. Таким образом, горизонтальная проекция линии пересечения призмы и пирамиды получена без каких бы то ни было дополнительных построений. Следует учитывать, что грани призмы пересекают не только грань SAC, но и грани SBC и SAB пирамиды, что очевидно из рассмотрения чертежа (рис. 5.10) на П₁. Следовательно, можно отметить все точки излома линии пересечения 1₁Е₁5₁, расположенные на пересечении ее с ребрами пирамиды. А именно, точки 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁, 6₁. Очевидно, что 3₁=6₁, так как ребро ЕЕ* призмы пересекает две грани SAB и SAС пирамиды.

Линия пересечения на каждой из проекций должна быть замкнутой. Причем ясно, что можно соединять отрезками прямой лишь точки, лежащие на одной и той же грани. Эти правила универсальны, и относятся к любой задаче о пересечении многогранников.

Тогда на П₁ получаем горизонтальную проекцию линии пересечения призмы и пирамиды в виде ломаной 1₁2₁3₁4₁5₁6₁1₁, лежащей на гранях пирамиды (вместе с тем и призмы).

Для нахождения фронтальной проекции этой линии необходимо решить задачу построения проекций ломаной линии на поверхность пирамиды. Достаточно построить фронтальные проекции указанных точек. Так как точки 1, 2, 4, 5 лежат на ребрах пирамиды, то их фронтальные проекции 1₂, 2₂, 4₂, 5₂ легко получить по линиям связи. Для нахождения фронтальных проекций 3₂ и 6₂ точек 3 и 6, лежащих на гранях SAB и SAС соответственно, необходимо через точки 3₁ и 6₁ провести образующие S₁7₁ и S₁8₁. Точки 7 и 8 лежат на основании пирамиды, поэтому по линиям связи можно найти фронтальные проекции 7₂ и 8₂ на соответствующих ребрах основания А₂С₂ и А₂В₂ пирамиды. Построив фронтальные проекции S₂7₂ и S₂8₂ образующих, по линиям связи отметим на них точки 3₂ и 6₂. Соединив точки, получим замкнутую ломаную 1₂2₂3₂4₂5₂6₂1₂. Последовательность соединения определяется по горизонтальной проекции на основании правила принадлежности соседних точек пересечения одной и той же грани. Например, ошибочным было бы соединение точек 1₂ и 3₂, так как одна из них лежит на ребре S₂С₂, а другая на грани S₂A₂B₂.

Видимость точек и линий на П₂ определяется по принадлежности граням пирамиды, так как обе грани D₂E₂E₂*D₂* и Е₂F₂F₂*E₂* являются видимыми. Поскольку грани S₂A₂С₂ и S₂В₂С₂ невидимые, то и точки, и прямые, лежащие на них, также невидимые. Проведя невидимые линии пунктиром, получим решение в окончательном виде.

Рассмотрим случай, когда оба многогранника занимают общее положение в пространстве, решение задачи о нахождении линии их пересечения усложняется, поскольку нужно строить все проекции этой линии. Линия пересечения многогранников проходит через точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и граней первого с ребрами второго.

Для решения применим метод секущих вспомогательных плоскостей. Чтобы получить какую-либо точку пересечения многогранников, необходимо найти линию пересечения вспомогательной плоскости с одним из них, затем с другим, далее – точку пересечения этих линий.

Рассмотрим пример.

Пусть пересекаются четырехгранная пирамида SABCD и трехгранная призма EFGE*F*G* (рис. 6.2). Необходимо определить проекции точек пересечения: ребер призмы с гранями пирамиды; ребер пирамиды с гранями призмы.

Рис. 6.2. Построения линии пересечения пирамиды и призмы общего положения.

Через ребра призмы ЕЕ*,FF*, GG* проведем вспомогательные фронтальные плоскости уровня Ф, Ф*,Ф**. При выборе положения вспомогательной секущей плоскости в каждом конкретном случае руководствуемся правилом: вспомогательная плоскость должна быть плоскостью частного положения и пересекать многогранники по линиям, проекции которых построить несложно. В данном случае линии пересечения с призмой плоскостей Ф, Ф*,Ф**, проходят по ее ребрам, значит, ее проекции совпадают с проекциями ребер призмы.

Рассмотрим одну из вспомогательных плоскостей Ф. Ее горизонтальная проекция Ф₁ проходит по ребру G₁G₁*. Линия пересечения с пирамидой проходит через точку основания 1₁ и параллельна ребру S₁А₁. По линии связи находим фронтальную проекцию 1₂ и через нее проводим прямую, параллельную A₂S₂, которая является фронтальной проекцией линии пересечения плоскости Ф и пирамиды. Очевидно, что там, где эта линия пересекает ребра G₂G₂* и лежит фронтальная проекция 7₂ точки пересечения ребра GG* и грани пирамиды SAD. По линии связи найдем 7₁. Аналогично строятся точки 4₂, 5₂, а по ним 4₁, 5₁.

Проведем вспомогательную плоскость Ф*** теперь по ребру SA пирамиды. Тогда горизонтальная проекция линий пересечения плоскости Ф*** и граней EGG*E* и FGG*F* призмы проходит вдоль А₁С₁, через точки 9₁ и 10₁ соответственно основания призмы. По линиям связи найдем положение 9₂ и 10₂, через которые проведем образующие призмы, параллельные ее боковым ребрам. На пересечении с ребрами S₂A₂ получим точки 6₂ и 8₂. Далее по линиям связи – точки 6₁ и 8₁.

Соединив одноименные проекции точек, получим фронтальную 4₂5₂6₂7₂8₂4₂ и горизонтальную 4₁5₁6₁7₁8₁4₁ проекции замкнутой ломаной линии пересечения призмы и пирамиды. Видимость отдельных участков определяется по принципу (уже нашедшему применение в предыдущей задаче) – отрезок линии пересечения многогранников является видимым в проекции на какую-либо плоскость, если обе грани, на которых он лежит, видимые. В связи с этим невидимые участки изображены, как показано на рис. 6.1.

Для упрощения чертежа точки линии пересечения на правой стороне пирамиды (на гранях SBC и SDC) не обозначены, так как их построение ничем не отличается от рассмотренного выше.