Условие базисов

Условие базисов возникает в сетях, где имеется исходных сторон (базисов) более одного. Геометрическое условие базисов выражает требование, чтобы значение избыточно заданной стороны, вычисленное по исходной стороне и уравненным значениям углов, точно равнялось заданному значению этой стороны (рисунок 30). При вычислении по измеренным углам получится

невязка.

По теореме синусов получим:

SВС = SВD ×, SВD = SАВ × (181)

Тогда

SВС = SАВ ;

или = 1 (по уравненным углам) (182)

или (lg SАВ + lg sin 3 + lg sin 6) – (lg SВС + lg sin 1 + lg sin 4) = 0 (183)

По измеренным же углам данное выражение примет вид:

[ (lg SАВ + lg sin 3 + lg sin 6) – (lg SВС + lg sin1 + lg sin 4) ] 106 = wS (184) Условное уравнение поправок за условие базисов примет вид:

b3 V3 + b6 V6 - b1 V1 - b4 V4 + wS = 0 (185)

w S доп. = 2,5 (186)

где ; - относительная погрешность исходных сторон (задается «Инструкцией…..»).

Число условий базисов подсчитывается по формуле

rS = КS –1 (187)

где КS – число исходных сторон (базисов).

 

Условие координат возникает в геодезических сетях при наличии в них избыточных исходных пунктов, не связанных между собой непосредственно сторонами сети. Каждый такой избыточный пункт (сверх одного необходимого) доставляет два условных уравнения координат: абсцисс и ординат.

Условие координат выражает требование равенства координат исходных пунктов, вычисленных через уравненные углы по цепочкам треугольников, их заданным значениям. Данное условие учитывают только при уравнивании триангуляции 1 и 2 классов.

 

Контрольные вопросы

 

1. Цель и содержание предварительных вычислений в триангуляции.

2. Цель и содержание уравнительных вычислений в триангуляции.

3. Какое геометрическое требование выражает условие фигур?

4. Напишите условное уравнение поправок за условие горизонта.

5. В каких сетях возникает условие дирекционных углов?

6. Объясните геометрический смысл условия полюса.

7. В каких сетях возникает условие базисов и какое геометрическое требование оно выражает?

8. Какое геометрическое требование выражает условие координат?

 

10 УРАВНИВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

 

10.1 Уравнивание центральной системы

10.2 Уравнивание геодезического четырехугольника

 

 

10.1 Уравнивание центральной системы

Исходные данные: ХА и YА; ХВ и YВ.

Измерены все углы в треугольниках.

Необходимо определить координаты пунктов С, D и Е, а также дирекционные углы и длины сторон сети (рисунок 31).

Порядок уравнивания:

1. Подсчитать вид и число условий, возникающих в данной сети:

условий фигур – 4;

Рисунок 31 Центральная система
условие горизонта – 1;

условие полюса – 1.

Всего: 6; r = 6.

2. В каждом треугольнике подсчитывают невязки по формулам:

w1 = 1 + 2 + g1 - 180°;

w2 = 3 + 4 + g2 - 180°; (188)

w3 = 5 + 6 + g3 - 180°;

w4 = 7 + 8 + g4 - 180°;

Допустимая невязка определяется по формуле

wдоп = 2,5 × mb × Ö3; (189)

Невязку в каждом треугольнике распределяют с обратным знаком поровну во все углы, получая первичные поправки V¢:

V1¢ = V2¢ = Vg1¢ = - ; V3¢ = V4¢ = Vg2¢ = - ;

V5¢ = V6¢ = Vg3¢ = - ; V7¢ = V8¢ = Vg4¢ = - ; (190)

Введя первичные поправки в измеренные углы, получим первично исправленные углы за условие фигур. Сумма первично исправленных углов в каждом треугольнике должна равняться ровно 180°.

3. Невязку за условие горизонта вычисляют по первично исправленным углам по формуле:

wГ = g1 + g2 + g3 + g4 (191)

wГ доп = 2,2 mb ×Ön, (192)

где n – число углов.

Вторичные поправки за условие горизонта вычисляют:

Vg1¢¢ = Vg2¢¢ = Vg3¢¢ = Vg4¢¢ = - ; (193)

Чтобы не нарушать условия фигур, выполненные введением первичных поправок, надо и в другие два угла каждого треугольника ввести вторичные поправки, которые равны половине вторичной поправки к углам g с обратным знаком с таким расчетом, чтобы сумма вторичных поправок во все три угла в каждом треугольнике равнялась нулю:

V1¢¢ = V2¢¢ = - ; V3¢¢ = V4¢¢ = - ;

V5¢¢ = V6¢¢ = - ; V7¢¢ = V8¢¢ = - ; (194)

Введя вторичные поправки в первично исправленные углы, получают вторично исправленные углы за условие горизонта. Сумма вторично исправленных углов в каждом треугольнике должна равняться ровно 180°.

4. Невязка за условие полюса вычисляется по вторично исправленным углам по формуле:

wП = [ ( lg sin1 + lg sin3+ lg sin5 + lg sin7) –

– ( lg sin2 + lg sin 4+ lg sin6 + lg sin 8) ] ×106 (195)

или wП = (åнечетн - åчетн) × 106 (196)

w П доп = 2,5 mb (197)

Затем вычисляют коэффициенты b. Это изменение логарифма синуса угла при изменении самого угла на одну секунду в шестом знаке логарифма. Коэффициент b положителен, если угол менее 90° и отрицателен, если угол более 90°.

Для того, чтобы вычислить третьи и окончательные поправки V¢² за условие полюса, сначала надо вычислить коррелату К

К = - (198)

Тогда третьи поправки V¢² будут вычислены по формулам:

V1¢¢¢ = - V2¢¢¢ = К (b1 +b2); V5¢¢¢ = - V6¢¢¢ = К (b5 +b6);

V3¢¢¢ = - V4¢¢¢ = К (b3 +b4); V7¢¢¢ = - V8¢¢¢ = К (b7 +b8); (199)

Введя третьи поправки во вторично исправленные углы, получим окончательно уравненные углы, сумма которых в каждом треугольнике должна равняться 180°.

5. По окончательно уравненным углам вычисляют длины сторон сети по теореме синусов. Так, в первом треугольнике вычисляют SАВ и SВС .

Длину исходной стороны SАВ вычисляют из решения обратной геодезической задачи по формуле:

SАВ = Ö (ХВ – ХА)2 + (YВ – YА)2 (200)

; тогда SВС = q sing1; а SАС = q sin1. (201)

Во втором треугольнике за исходную сторону принимают вычисленную длину стороны SАС из первого треугольника

; тогда SDС = q sing2; а SАD = q sin3 и так далее. (202)

Контролем правильности вычисления длин сторон будет служить равенство вычисленной стороны SАВ в четвертом треугольнике и значения этой стороны, вычисленной из решения обратной геодезической задачи.

6. Вычисление координат пунктов сети выполняют решением прямых геодезических задач. Например:

ХС = ХА + SАС ×соsaАС ; YС = YА + SАС sinaАС ; (203)

Для этого из решения обратной геодезической задачи вычисляют исходный угол исходной стороны aАВ

tg aАВ = (204)

Тогда aАС = aАВ + Ð g1 (уравненный угол)

Вычислив координаты пункта С, вычисляют координаты пункта D.

ХD = ХC + SС D соsaСD ; YD = YC + SСD sinaСD ; (205)

aСD = aАC ± 180° - 3. (206)

Контролем правильности вычисления координаты будет служить равенство вычисленных координат пунктов А и В и их исходных данных.

7. Производится оценка точности по уравненным углам

mb = ; (207)

где V – суммарная поправка в угол

Vi = Vi¢ + Vi¢¢+ Vi¢¢¢ (208)

r – число всех условий, возникающих в данной сети.

 

10.2 Уравнивание геодезического четырехугольника

 

Исходные данные: ХВ и YВ; ХD и YD.

В геодезическом четырехугольнике измерены восемь углов на четырех точках (рисунок 32). Углы нумеруются цифрами 1-8 по ходу часовой стрелки. Необходимо определить координаты пунктов А и С, а также дирекционные углы и длины сторон.

Порядок уравнивания:

1. В геодезическом четырехугольнике возникают следующие условия:

- сумма всех восьми углов в четырехугольнике должна быть равна 360°;

Рисунок 32 Геодезический четырехугольник
- геодезический четырехугольник рассматривается как центральная система с фиктивным полюсом – точкой О пересечения диагоналей;

- в фиктивных треугольниках АВО, DОС, ВСО и АОD должны существовать следующие условия суммы углов: 1+2 = 5+6; 3+4 = 7+8;

- все измеренные углы можно рассматривать как связующие углы треугольников центральной системы, следовательно, возникает полюсное условие.

условий фигур – 3;

условие полюса – 1.

Всего: 4; r = 4.

2. Невязки за условия фигур вычисляются по формулам:

w1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 - 360°;

w2 = 1 + 2 – 5 – 6; (209)

w3 = 3 + 4 – 7 – 8;

Допустимая невязка wдоп = 2,5 mb Ön; (210)

Первичные поправки V¢ вычисляем по формулам:

V1¢ = V2¢ = - ; V3¢ = V4¢ = - ;

V5¢ = V6¢ = - ; V7¢ = V8¢ = -; (211)

Вычисление поправок контролируется: их сумма в четырехугольнике должна равняться невязке с обратным знаком.

3. За полюс принята точка пересечения диагоналей. Тогда условное уравнение полюса, как и в центральной системе, можно выразить формулой:

wП = [ ( lg sin1 + lg sin3+ lg sin5 + lg sin7) –

– ( lg sin2 + lg sin4+ lg sin6 + lg sin8) ] 106 (212)

или wП = (åнечетн - åчетн) × 106 (213)

w П доп = 2,5 mb (214)

где b - это изменение логарифма синуса угла при изменении самого угла на одну секунду в шестом знаке логарифма.

Для вычисления вторичных поправок за условие полюса определяем коррелату К

К = - (215)

Тогда V1¢¢ = - V2¢¢ = К (b1 +b2); V3¢¢ = - V4¢¢ = К (b3 +b4);

V5¢¢ = - V6¢¢ = К (b5 +b6); V7¢¢ = - V8¢¢ = К (b7 +b8); (216)

Введением вторичных поправок заканчивается процесс уравнивания горизонтальных углов. После чего решением треугольников находят стороны, вычисляют дирекционные углы и приращения координат. Полученные невязки приращений распределяют пропорционально длинам сторон и вычисляют окончательные координаты пунктов.

 

Контрольные вопросы

 

1. В какой последовательности производится уравнивание центральной системы?

2. Напишите формулу определения невязки за условие фигур.

3. По какой формуле определяется допустимая невязка за условие фигур?

4. Напишите формулу определения невязки за условие горизонта.

5. Как распределяются вторичные поправки за условие горизонта?

6. Какие условия возникают в геодезическом четырехугольнике?

 

 

11 РАВНИВАНИЕ цепочки треугольников

между двумя измеренными базисами

с известными дирекционными углами

 

11.1 Уравнивание цепочки треугольников между двумя

измеренными базисами с известными дирекционными углами

 

Исходные данные: ХА и YА; ХВ и YВ; aАВ; aЕF, SАВ; SЕF.

Измерены все углы в треугольниках.

Необходимо определить координаты пунктов С, D и Е, а также дирекционные углы и длины сторон сети (рисунок 33).

Рисунок 33 Цепочка треугольников

Порядок уравнивания:

1. Подсчитывают вид и число условий, возникающих в данной сети:

условий фигур – 4;

условий дирекционных углов – 1;

условие базиса – 1.

Всего: 6; r = 6.

2. В каждом треугольнике подсчитывают невязки по формулам:

w1 = 1 + 2 + 3 - 180°; w2 = 4 + 5 + 6 - 180°;

w3 = 7 + 8 + 9 - 180°; w4 = 10 + 11 + 12 - 180°; (217)

Допустимая невязка определяется по формуле

wдоп = 2,5 mb ×Ö3; (218)

Первичные поправки вычисляют:

V1¢ = V2¢ = V3¢ = - ; V4¢ = V5¢ = V6¢ = - ;

V7¢ = V8¢ = V9¢ = - ; V10¢ = V11¢ = V12¢ = - ; (219)

Введя первичные поправки в измеренные углы, получим первично исправленные углы. Сумма первично исправленных углов в каждом треугольнике должна равняться ровно 180°.

3. По первично исправленным углам вычисляют невязку за условие дирекционных углов:

wa = aАВ – 3 + 6 – 9 + 12 - aЕF (220)

wa доп = 2,2 mb Ön, (221)

где n – число углов.

Для этого намечают на схеме сети ходовую линию (отмечена пунктиром). Вторичные поправки за условие дирекционных углов вычисляют:

V6¢¢ = V12¢¢ = - V3¢¢ = - V9¢¢ = - ; (222)

Чтобы не нарушать условия фигур, выполненные введением первичных поправок, надо и в другие два угла каждого треугольника ввести вторичные поправки, которые равны половине вторичной поправки к углам 3, 6, 9 и 12 с обратным знаком, т.е.:

V1¢¢ = V2¢¢ = - ; V4¢¢ = V5¢¢ = - ;

V7¢¢ = V8¢¢ = - ; V10¢¢ = V11¢¢ = - ; (223)

Введя вторичные поправки в первично исправленные углы, получают вторично исправленные углы. Сумма вторично исправленных углов в каждом треугольнике должна равняться ровно 180°.

4. Невязка за условие базисов вычисляется по вторично исправленным углам по формуле:

wS = [ (lg SАВ + lg sin 1 + lg sin 4+ lg sin 7 + lg sin 10) –

(lg SЕF + lg sin2 + lg sin 5+ lg sin8 + lg sin 11) ] 106 (224)

или wS = (åчисл - åзнам) × 106 (225)

w S доп. = 2,5 (226)

где ; - относительная погрешность исходных сторон сети.

Например, для триангуляции 2 разряда £ . Тогда m lg S = 21,7.

Затем вычисляют коррелату:

К = - (227)

Тогда V¢² будут вычислены по формулам:

V1¢¢¢ = - V2¢¢¢ = К ×(b1 +b2); V4¢¢¢ = - V5¢¢¢ = К ×(b4 +b5);

V7¢¢¢ = - V8¢¢¢ = К ×(b7 +b8); V10¢¢¢ = - V11¢¢¢ = К ×(b10 +b11); (228)

где b - это изменение логарифма синуса угла при изменении его на одну секунду в шестом знаке логарифма.

Введя третьи поправки во вторично исправленные углы, получим окончательно уравненные углы, сумма которых в каждом треугольнике должна равняться 180°.

5. По уравненным углам вычисляют длины сторон сети по теореме синусов, начиная от исходной SАВ.

Контроль: Вычисленная длина стороны SЕF должна равняться заданному значению исходной стороны.

6. Вычисление координат ведут по ходовой линии ВСDЕ.

ХС = ХВ + SВС × соs aВС ; YС = YВ + SВС × sin aВС ; (229)

aВС = aАВ ± 180° - 3. (230)

ХD = ХC + SСD × соs aСD ; YD = YC + SСD × sin aСD ; (231)

aСD = aВC ± 180° + 6. (232)

ХЕ = ХD + SDЕ × соs aDЕ ; YЕ = YD + SDЕ × sin aDЕ ; (233)

aDЕ = aCВ ± 180° - 9. (234)

Контроль: Вычисленные координаты ХЕ и YЕ должны быть равны заданным координатам ХЕ и YЕ .

7. Производится оценка точности

mb = ; (235)

где V – суммарная поправка Vi = Vi¢ + Vi¢¢+ Vi¢¢¢ (236)

r – число всех условий в сети.

 

Контрольные вопросы

 

1. Порядок уравнивания цепочки треугольников между двумя измеренными базисами с известными дирекционными углами.

2. Как определяется вид и число условий, возникающих в данной сети?

3. Напишите формулу для определения невязки за условие дирекционных углов.

4. Чему равна сумма окончательно уравненных углов в треугольнике?

5. По какой теореме вычисляют длины сторон сети по уравненным углам, начиная от исходной стороны?

12 Оптический теодолит 3Т2КП. Угловые измерения в геодезических сетях сгущения

12.1 Оптические теодолиты, применяемые при построении геодезических сетей сгущения

12.2 Устройство теодолита 3Т2КП

12.3 Приведение теодолита 3Т2КП в рабочее положение