Оценивание относительного запаздывания

Спектральные соотношения

Несколькими выходами

Рассмотрим систему с одим входным процессом (наблюдаемым или ненаблюдаемым), который вызывает несколько наблюдаемых выходных процессов. Предполагаем, что система линейна и имеет постоянные параметры и что все отклонения от этого идеального случая включены в некоррелированный внешний шум на выходе.

Пусть система состоит из одного стационарного эргодического случайного процесса , который вызывает наблюдаемых выход-ных процессов , , искаженных некоррелированным шумом (рисунок 3.1). Пунктиром на рисунке выделена система, имеющая трактов распространения входного сигнала с частотными характеристиками , .

– входной процесс; – частотная характеристика i-го тракта;

– ненаблюдаемый истинный выходной процесс i-го тракта;

– ненаблюдаемый шум на выходе i-го тракта;

– наблюдаемый выходной процесс i-го тракта;

– номер тракта распространения сигнала в системе

Рисунок 3.1 – Система с одним входом и несколькими выходами

Для каждого i-го тракта распространения сигнала выходной процесс имеет вид

, . (3.1)

Выполнив финитное преобразование Фурье над реализацией достаточно большой длины , получим

, , (3.2)

откуда, с учетом некоррелированности шума, спектральная плотность на выходе тракта определится как

, . (3.3)

Для взаимной спектральной плотности процессов и аналогично получим

, . (3.4)

Соотношения (3.3), (3.4) для i–го тракта рассматриваемой системы в точности совпадают со спектральными соотношениями (2.31), (2.32) для системы с одним входом и одним выходом при наличии внешнего шума на выходе.

Используя формулу (3.2) для различных трактов с номерами i и j, можно получить взаимную спектральную плотность между двумя любыми выходными процессами

. (3.5)

Отсюда следует, что наблюдение взаимной спектральной плотности и знание частотных характеристик отдельных трактов и позволяют оценить спектральную плотность входного процесса , даже если он ненаблюдаем.

Задача оценки времени относительного запаздывания между двумя сигналами решается, например, при установлении местонахождения неизвестного источника, излучающего энергию с известной скоростью распространения, путем определения запаздывания между парами наблюдений на выходе.

Рассмотрим частный случай системы с одним входом и двумя выходами (рисунок 3.2), которые имеют вид

(3.6)

где – коэффициент относительного затухания;

– запаздывание.

Шумовые слагаемые и предполагаются некоррелированными между собой и с входным процессом .

– входной процесс; , – выходные процессы трактов;

, – частотные характеристики трактов;

, – шумы на выходе трактов

Рисунок 3.2 – Система с одним входом и двумя выходами

Взаимная ковариационная функция и взаимная спектральная плотность процессов , , определенных уравнениями (3.6), имеют вид

(3.7)

и

. (3.8)

Важно отметить, что в формулах (3.7), (3.8) отсутствуют шумовые составляющие и , что означает независимость функций от внешних помех.

Кроме того, выражение для является функцией от , и и имеет, очевидно, максимум при . Запаздывание также линейно входит в фазовую составляющую взаимной спектральной плотности .

Следовательно, запаздывание можно определить либо по взаимной ковариационной функции, либо по взаимной спектральной плотности из формул (3.7), (3.8).