Необходимое и достаточное условие локального экстремума

Т.1	(Необходимое условие локального экстремума) Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности т. и имеет в т. x0 локальный экстремум, тогда

Proof:

По теореме Ферма, если в т. функция y=f(x) имеет локальный экстремум, то , ч.т.д.

Т.2

(Достаточное условие локального экстремума) Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности т. . Тогда если в т. x0 и при переходе через т. x0 : 1. производная меняет знак с «+» на «-», то в т. x0 функция имеет локальный максимум; 2. производная меняет знак с «-» на «+», то в т. x0 функция имеет локальный минимум.

Proof:

1. Пусть в т. производная и пусть производная при переходе через т. x₀ меняет знак с «+» на «- ».

По теореме Ферма функция y=f(x) в т. x₀ имеет локальный экстремум. До т. x₀ функция y=f(x) возрастает, а после т. x₀ функция убывает.

Значит, в т. x₀ функция имеет локальный максимум, ч.т.д.