Определение. Правила и формулы дифференцирования
Пусть на плоскости с д.п.с.к. X0Y определена функция y=f(x) в некоторой т. 
.
| Def.1 | (Наизусть!) Производной функции y=f(x) в т. x называют пределотношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, т.е.
 ,
где  приращение аргумента;
 приращение функции.
|
| Note | Приращение аргумента  может быть как больше нуля, так и меньше нуля.
|
| Def.2 | Функция y=f(x) называется дифференцируемой в т. х, если в этой точке существует конечная производная. |
Обозначение производной
y' или f '(x) – по Лагранжу;
или 
– по Лейбницу;
Dy или Df(x) – по Коши;
или 
– по Ньютону.
В данном курсе мы будем применять первые два типа обозначений (т.е. по Лагранжу или по Лейбницу), обозначение по Ньютону применяют в курсе «Теоретическая механика».
Основные правила и формулы дифференцирования
Правила
Пусть функции y=f(x), u=u(x), v=v(x) – определены и дифференцируемы в т. .
Пусть с – произвольная постоянная (с – const).
Пусть y=y[u(x)] – сложная функция от основного аргумента x (u(x) – называют промежуточным аргументом).
Тогда:
1. 
производная константы;
2. 
производная суммы функций;
3. 
производная разности функций;
4. 
производная произведения функций;
5. 
производная частного функций;
6. 
производная обратной функции;
7. 
где с – const;
8. 
производная сложной функции.
При выводе данных правил полагаем, что
приращение функции u;
приращение функции v.
Формулы
Таблица производных элементарных функций
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
| Т. | (Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции) Если функция y=f(x) дифференцируема в т. x, то она непрерывна в т. х (обратное не всегда верно!). |
Proof:
1-й метод. Пусть 
, тогда по лемме переменная 
отличается от предела 
на б.м.в. α, т.е. 
. Откуда 
. Пусть 
, ч.т.д.
2-й метод. Пусть .
Тогда 
, ч.т.д.
Мы воспользовались одним из определений непрерывности функции y=f(x)
.
Правила
Proof:
1. 
, т.е. производная константы равна нулю.
Proof:
, ч.т.д.
2. 
, т.е. производная суммы функций.
Proof:
, ч.т.д.
3. 
, т.е. производная разности функций.
Proof:
, ч.т.д.
4. 
, т.е. производная произведения функций.
Proof:
, ч.т.д.
5. 
, т.е. производная частного функций.
Proof:
, ч.т.д.
6. 
, т.е. производная обратной функции.
Proof:
, ч.т.д.
7. 
, где с – const.
Proof:
, ч.т.д.
8. 
, т.е. производная сложной функции.
Proof:
, ч.т.д.
Формулы
Proof:
| Note | Приведем вывод некоторых формул, при этом нарушив их порядок. Остальные формулы вывести дома или на п/з. |
5. 
.
, ч.т.д.
6. 
.
, ч.т.д.
7. 
.
Пусть ex =y, тогда x=lny или 
, (т.к. y – сложная функция переменной х). Или 
, т.е. , ч.т.д.
8. 
.
Пусть 
, тогда 
, или 
(т.к. y – сложная функция переменной х). Или 
, т.е. , ч.т.д.
4. 
.
Пусть 
, тогда 
или 
(т.к. y – сложная функция переменной x).
Или 
, т.е. 
, 
, ч.т.д.
9. 
.
, ч.т.д.
10. 
.
, ч.т.д.
15. 
.
Пусть 
, тогда 
, или, учитывая, что 
, т.е.
, т.е. , ч.т.д.
| Note | Т.к.  монотонно возрастает на  , то в последней формуле перед радикалом выбираем знак «+».
|