Понятие и характеристики моделей с распределенным лагом.
Учебные вопросы
Модель Койка.
Лаги Алмон.
Понятие и характеристики моделей с распределенным лагом.
План
Москва
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ № 7
на тему: «Модели с распределенным лагом»
Дисциплина: Эконометрика
Будем рассматривать динамические эконометрические модели. Эконометрическая модель является динамической, если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущим, так и к предыдущим моментам времени, т.е. если эта модель отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени.
Будем рассматривать модели, в которых значения переменных за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель (присутствуют в явном виде). Это модели с распределенным лагом.
При исследовании экономических процессов нередко приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени t – 1, t – 2, … , t – l. Величину l,
характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, –лаговыми переменными.
Разработка экономической политики как на макро-, так и на микроуровне требует решения обратного типа задач, т.е. задач, определяющих, какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей.
Эконометрическое моделирование охарактеризованных выше процессов осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Например,
yt = a + b0xt + b1xt-1 + b2xt-2 + εt –
модель с распределенным лагом.
Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Например, модель вида
yt = a + b0xt + c1yt-1 + εt –
модель авторегрессии.
Построение моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии имеет свою специфику. Во-первых, оценка параметров модели авторегрессии, а в большинстве случаев и моделей с распределенным лагом не может быть произведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует специальных статистических методов. Во-вторых, исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры. Наконец, в-третьих, между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии существует определенная взаимосвязь, и в некоторых случаях необходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому.
2. Лаги Алмон. Рассмотрим общую модель с распределенным лагом, имеющую конечную максимальную величину лага l, которая описывается соотношением
yt = a + b0xt + b1xt-1 + … + bpxt-p + εt (1)
Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение l следующих моментов времени.
Коэффициент регрессии b0 при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t без учета воздействий лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.
В момент (t + 1) совокупное воздействие факторной переменной xt на результат уt составит (b0 + b1) усл. ед., в момент (t + 2) это воздействие составит (b0 + b1 + b2) и т.д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.
С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной xt в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результата через l моментов времени на (b0 + b1 + … +bl) абсолютных единиц.
Величину
b = b0 + b1 + … + bl
называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение результата у в долгосрочном периоде t + l под влиянием изменения фактора х на 1 ед.
Предположим, что было установлено, что в исследуемой модели имеет место полиномиальная структура лага, т.е. зависимость коэффициентов регрессии bi от величины лага описывается полиномом k-ой степени. Частным случаем полиномиальной структуры лага является линейная модель. Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют лагами Алмон, по имени Ш. Алмон, впервые обратившей внимание на такое представление лагов.
Формально модель зависимости коэффициентов bj от величины лага j в форме полинома можно записать в следующем виде:
– для полинома 1-й степени: bj = c0 + c1j;
– для полинома 2-й степени: bj = c0 + c1j + с2j2;
– для полинома 3-й степени: bj = c0 + c1j + с2j2 + c3j3 и т.д.
В наиболее общем виде для полинома k-ой степени имеем:
bj = c0 + c1j + с2j2 + … + ckjk .
Тогда каждый из коэффициентов модели (1) можно выразить следующим образом:
b0 = c0;
b1 = c0 + c1 + … + ck;
b2 = c0 + 2c1 + 4c2 + … + 2kck;
b3 = c0 + 3c1 + 9c2 + … + 3kck ;
и т.д.
bl = c0 + lc1 + l2c2 + … + lkck (2)
Подставив в (1) найденные соотношения для bj, получим:
yt = a + c0xt + (c0 + c1 + … + ck)xt-1 +(c0 + 2c1 + 4c2 + … + 2kck)xt-2 + ( c0 + 3c1 + 9c2 + … + 3kck)xt-3 + … +( c0 + lc1 + l2c2 + … + lkck)xt-l + εt . (3)
Перегруппируем слагаемые в (3):
yt = a + c0(xt + xt-1 + xt-2 + … + xt-l) + c1(xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + … + lxt-l) + c2(xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + … + l2xt-l) + … + ck(xt-1 + 2kxt-2 + 3kxt-3 + … + lkxt-l) + εt . (4)
Обозначим слагаемые в скобках при сi как новые переменные:
z0 = xt + xt-1 + xt-2 + … + xt-l = 
z1 = xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + … + lxt-l = 
z2 = xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + … + l2 xt-l = 
(5)
……………………………………………….
zk = xt-1 + 2kxt-2 + 3kxt-3 + … + l2xt-l = 
Перепишем модель (4) с учетом соотношений (5):
yt = a + c0z0 + c1z1 + c2z2 + … + ckzk + εt (6)