Постановка задачи

Математические задачи в ЭЭ

Устойчивость ЭЭС

} Задача исследования устойчивости ЭЭС требует наличия методов, которые бы давали возможность по доступным, легко получаемым признакам установить устойчивость системы.

} Критерий устойчивости – необходимое и достаточное условие (или группа условий), при выполнении которых система устойчива.

} Необходимое условие – условие, при невыполнении которого появляется неустойчивость.

} Достаточное условие – условие, при выполнении которого имеет место устойчивость

Устойчивость системы вида

Система устойчива тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения этой системы

имеют отрицательные вещественные части, т.е. все корни р1, р2, …, рn лежат в левой полуплоскости

Общее решение системы имеет вид

Действительный корень

Графическое представление решения системы

} Если все корни лежат в левой полуплоскости, то все составляющие по модулю экспоненциально затухают

} Если среди корней имеется один из правой полуплоскости, то составляющая, соответствующая этому корню неограниченно возрастает во времени

2. Алгебраические критерии устойчивости

АКУ основаны на закономерностях, связывающих отрицательность всех действительных частей корней характеристического уравнения со знаками коэффициентов этого уравнения и некоторых функций от коэффициентов.

2.1. Критерий Гурвица

2.2. Критерий Рауса

Таблица Рауса:

- элементы первой строки – коэффициенты с четными индексами

- элементы второй строки – с нечетными индексами

- элементы следующей строки по формуле

Таблица Рауса

«Нерегулярный» случай при составлении таблицы Рауса

Рассмотреть пример

Таблица Рауса для примера

2.3. Критерий Михайлова (Принцип аргумента)

} Принцип аргумента: разность между числом нулей и числом полюсов функции F(p) внутри контура С равна числу оборотов, которые делает вектор в плоскости W(jw), идущий из «0» в «F(p)», когда точка р описывает контур С.

} Критерий Михайлова: Для отсутствия корней с положительной действительной частью характеристического уравнения, т.е. для обеспечения устойчивости системы, необходимо и достаточно, чтобы при прохождении точкой р мнимой оси в положительном направлении приращение аргумента D(p) было равно nπ.

Геометрическая иллюстрация правила Михайлова

Характеристический вектор

Характеристический вектор

Практическое использование критерия Михайлова

Годограф характеристического уравнения

Условие устойчивости

Система устойчива

Система не устойчива

Примеры годографов устойчивых систем

Рассмотреть пример

Система устойчива

2.4. Критерий устойчивости Найквиста

Основан на применении принципа аргумента к вектору-годографу комплексного коэффициента усиления разомкнутой системы

Устойчивость по критерию Найквиста

1. Пусть разомкнутая система устойчива

Устойчивость по критерию Найквиста

2. Пусть разомкнутая система неустойчива

Возможные очертания амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы

Возможные очертания амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы

Критерий Найквиста в зависимости от состояния разомкнутой системы

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой или нейтрально-разомкнутой системы не охватывала точку С (-1,j0).

Критерий Найквиста в зависимости от состояния разомкнутой системы

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы охватывала m/2 раз точку С (-1,j0) в положительном направлении

Критерий Найквиста для инверсной амплитудно-фазовой характеристики

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы инверсная амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы охватывала точку С с координатами (-1,j0)

Пример

Решение

2.5. Способ D-разбиения

Целью исследования является отыскание всех значений исследуемых параметров, при которых система устойчива.

При решении таких задач удобно выделять области устойчивости (Ю.И. Неймарк)

Рассмотрим характеристическое уравнение n-ой степени, где m – корней в правой полуплоскости, (n-m) – корней в левой.

Пояснение способа D-разбиения

При плавном изменении коэффициентов ak корни уравнения будут перемещаться на плоскости корней, образуя траектории корней.

D-разбиение

Поверхность N делит пространство коэффициентов ak на области D(m) с равным числом m корней в правой и (n-m) в левой полуплоскости корней.

N-граница D-разбиения

Определение границы D-разбиения

Подставив в характеристическое уравнение p=jω и разделив действительную и мнимую часть получим

Математическая задача для определения устойчивости

Дана замкнутая система, характеристический многочлен которой имеет вид:

Решение задачи методом D-разбиения

Метод D-разбиения по трем параметрам (k=3)

Метод D-разбиения по двум параметрам (k=2)

Метод D-разбиения по одному параметру (k=1)

Метод D-разбиения по двум параметрам

Характеристическое уравнение системы:

Уравнение распадается на два

Где

Решение

Где

Особые прямые

Прохождение значения ∆ через «0»:

1) При ∆=0 значение ∆1 и ∆2 конечны и не равны «0»

2) При ∆=0 значения ∆1=∆2=0. Тогда П1 и П2 – неопределенные, значит коэффициенты уравнений пропорциональны:

Получение особых прямых

1) а0=0, если оно зависит от П1 и П2. Получить уравнение особой прямой , соответствующей ω=∞

2) аn=0, если оно зависит от П1 и П2. Получить уравнение особой прямой , соответствующей ω=0

3) Найти все отличные от «0» значения ω, при которых ∆=∆1=∆2=0. Получить уравнения соответствующих особых прямых

Штриховка границ D-разбиения

При обходе в сторону возрастающих ω (-∞;+∞) кривая D-разбиения штрихуется слева, если главный определитель ∆>0, и справа, если ∆<0.

Штриховка особых прямых

Направление штриховки особых прямых увязывается с направлением штриховки границы D-разбиения в точке ωi, для которой построена особая прямая.

1) Если при ωi≠0

∆(ωi)=∆1(ωi)=∆2(ωi)=0

2) Если при ωi=0 или при ωi=∞

∆(ωi)=0

Выделение области устойчивости

Переход через границу D-разбиения в точке ωi в сторону штриховки соответствует переходу двух сопряженных корней рi,i+1 через мнимую ось

Если вне границе D-разбиения расположена область D(m), то внутри находится область D(m-2).

Область с наименьшим числом m является претендентом на область устойчивости.

Метод D-разбиения по одному параметру

Характеристическое уравнение

Условия устойчивости

1) если условие не выполняется ни при каких значениях ω, то при любых значениях П1 система либо устойчива, либо неустойчива (проверка по П1=0)

Условия устойчивости

2) Если условие выполняется при нескольких ω, то необходимо провести D-разбиение по оси П1:

Где

Пример кривой D-разбиения

Устойчивость системы обеспечивается при условиях

Метод D-разбиения по трем и более параметрам

Характеристическое уравнение

Построение границы D-разбиения

Графоаналитический метод построения:

Уравнения кривой D-разбиения

Где П10(ω)

и П20(ω)

представляют

кривую

D-разбиения

при П3=0

Пример

Определить все значения К1, К2, при которых система устойчива

Решение

Где

Решение

Сведем вычисления К1 и К2 в таблицы

Таблицы К1 и К2

Кривая D-разбиения для примера