Упражнения
1. С противоположных концов катка длиной 180 м бегут навстречу друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробегает 9 м в секунду, а другой 6 м в секунду?
Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений:
а)9 + 6; 6)180:9; в) 180:6; г) 180:(9 + 6).
Какое из этих выражений является решающей моделью данной задачи?
2. Запишите решение задачи в виде выражения:
а) Самолет пролетел за 2 ч а км. Сколько километров он пролетит за 5 ч?
б) Из двух городов, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик и встретились через / ч. Скорость легкового автомобиля у км/ч. Найдите скорость грузовика.
в) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоцикл и встретились через t ч. Найдите расстояние между городами, если скорость автомобиля v ₁ км/ч, а скорость мотоцикла v₂ км/ч.
3. Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск, а другой подъем на движущихся лестницах метро, поравнялись через 30 с. Вычислите длину лестницы, если скорость ее движения 1 м/с.
Решите задачу двумя арифметическими способами.
4. Расстояние между городами А и В 520 км. В 8 ч из А в В выехал автобус со скоростью 56 км/ч, а в 11 ч того же дня из В в А выехал грузовой автомобиль со скоростью 32 км/ч. На каком расстоянии от А встретятся машины?
Решение задачи запишите по действиям и в виде выражения.
5. Из двух городов, расстояние между которыми 960 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 8 ч после выхода. Найдите скорость каждого поезда, если один проходил в час на 16 км больше другого.
Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений:
а) 16∙8; д) (960-16∙8):2:8 + 16;
б) 960-16∙8; е) (960 -16∙8):8;
в) (960 -16∙8):2; ж) (960 -16∙8):8:2.
г) (960-16∙ 8):2:8;
Запишите решение данной задачи по действиям. Дайте пояснения к каждому действию такого решения данной задачи:
1)960:8= 120 (км/ч);
2) 120 -16= 104 (км/ч);
3) 104:2 = 52 (км/ч);
4) 52 +16 = 68 (км/ч).
6. Решите нижеприведенные задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям с пояснениями.
а) Из А в В выехал мотоциклист, проезжавший в час 48 км. Через 45 мин из В в А выехал другой мотоциклист, скорость которого была 50 км/ч. Зная, что расстояние АВ равно 330 км, найдите, на каком расстоянии от В мотоциклисты встретятся.
б) Из двух городов, расстояние между которыми 484 км, выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Через 4 ч расстояние между ними оказалось 292 км. Определите скорость велосипедиста и мотоциклиста, если скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста.
7. Установите, достаточно ли данных для ответа на требование за дачи:
а) Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, вышли одно временно навстречу друг другу два пешехода и встретились. Скорость одного пешехода 4 км/ч. С какой скоростью шел другой пешеход?
б) Расстояние между станциями 780 км. Одновременно навстречу друг другу с этих станций вышли два поезда и через 6 ч встретились. Найдите скорость каждого поезда, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.
В случае если нельзя ответить на требование задачи, дополните ее условие недостающими данными и решите задачу.
8. Есть ли среди нижеприведенных задачи с лишними данными:
а) Расстояние между плотом и катером, которые движутся по реке навстречу друг другу, 52 км. Скорость плота 4 км/ч, а скорость катера 9 км/ч. Как изменится расстояние между ними через час?
б) Почтальон живет на расстоянии 24 км от почтового отделения. Путь от дома до почты он проехал за 3 ч на велосипеде со скоростью 8 км/ч, а обратный путь по той же дороге он проехал со скоростью 6 км/ч. На какой путь почтальон потратил меньше времени и на сколько часов?
В случае если в задаче есть лишние данные, то исключите их и решите получившуюся задачу.
9. Два теплохода отправились одновременно от пристани в одном и том же направлении. Скорость одного теплохода 25 км/ч, другого - 20 км/ч. Первый пришел к конечной остановке на 4 ч раньше, чем второй. Найдите расстояние между пристанью и конечной остановкой.
Постройте вспомогательную модель задачи, используя таблицу.
Объясните, используя условие данной задачи, смысл следующих выражений:
а) 20∙4; 6) 25-20; в) (20∙4):(25 - 20).
Есть ли среди этих выражений решающая модель задачи? Запишите решение задачи в виде выражения и найдите его значение. Выполните проверку, решив задачу алгебраическим методом.
10.Решите следующие задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям и выполните проверку:
а) Из двух городов, расстояние между которыми 260 км, одновременно выехали два поезда в одном направлении. Скорость шедшего впереди поезда 50 км/ч, а второго - 70 км/ч. Через какое время один поезд догонит другой?
б) Из пункта А выехал автобус со скоростью 40 км/ч и через 12 мин нагнал пешехода, который вышел из пункта В одновременно с началом движения автобуса из пункта А. Скорость пешехода 5 км/ч. Каково расстояние между пунктами А и В?
в) Скорость одного конькобежца на 2 м/с больше скорости другого. Если второй начнет движение на 20 с раньше первого, то первый, стартуя с того же места, что и второй, догонит его через 80 с. Определите скорости спортсменов. Два самолета вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места назначения быстрее, если первому из них нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в два раза быстрее, чем второй?
11. Два самолета вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места назначения быстрее, если первому из них нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в два раза быстрее, чем второй?
12. Решите задачи арифметическим методом, установив предварительно, о каких процессах в них идет речь, какие величины рассматриваются и в каких зависимостях они находятся:
а) Длина прямоугольного поля 1536 м, а ширина 625 м. Один тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за 12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая вместе в течение 5 дней?
б) В мастерской было два куска ткани: один длиной 104 м, другой - 84 м. Из всей ткани сшили одинаковые платья, причем из первого куска получилось на 5 платьев больше, чем из второго. Сколько всего платьев сшили из этой ткани ?
в) Один экскаватор вынимает на 60 м3 в час больше земли, чем другой. Оба экскаватора вынули вместе 10320 м3 земли, причем первый работал 20 ч, а второй -18 ч. С какой производительностью работал каждый экскаватор?
г) Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту 2 картофелины, а второй -- 3 картофелины. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 мин больше первого?
д) Бассейн вмещает 2700 м3 воды и наполняется тремя трубами. Первая и вторая трубы вместе могут наполнить бассейн за 12 ч, а первая и третья наполняют его вместе за 15 ч. За сколько часов каждая труба в отдельности наполняет бассейн, если третья труба действует
вдвое медленнее второй?
13. От двух пристаней, расстояние между которыми по реке 640 км, вышли одновременно навстречу друг другу два теплохода. Собственная скорость теплоходов одинакова. Скорость течения реки 2 км/ч. Теплоход, идущий по течению, за 9 ч проходит 198 км. Через сколько
часов теплоходы встретятся?
Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений:
а) 198:9 г) 198:9 + (198:9 - 4)
б) 198:9-2 д) 640:(198:9 + (198:9 - 4))
в) 198:9-2-2
Есть ли среди этих выражений решающая модель данной задачи? Запишите решение данной задачи по действиям с пояснениями и выполните проверку.
14. Решите следующие задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям с пояснением:
а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а на обратный путь - 10 ч. Скорость лодки в стоячей воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?
б) Собственная скорость моторной лодки в 8 раз больше скорости течения реки. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки, если, двигаясь по течению, лодка за 4 ч проплыла 108 км.
в) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определите собственную скорость пловца, считая ее постоянной от начала и до конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/с.
15. Есть ли среди следующих задач задачи с недостающими или избыточными данными:
а) Турист проехал поездом и на лошади 288 км, причем на лошади он проехал 48 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади, если скорость поезда 60 км/ч?
б) Турист проехал поездом и на лошади 288 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади?
в) Турист проехал поездом и на лошади 288 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади, если
поезд шел со скоростью 60 км/ч?