Квадратичная форма. Исследование на знакоопределенность квадратичной формы.
Линейный оператор. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
Проверка на базис.
Сложение, вычитание векторов, угол между векторами, скалярное произведение векторов.
ТЕМА 3: ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА.
1. СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ, УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ, СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис 1) (правило треугольников).
Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (рис 1) (правило параллелограмма).
Рис. 1.
Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , противоположного . Легко убедится в том, что на параллелограмме, построенном на векторах и это будет другая диагональ (рис 2).
Рис. 2.
Координатами вектора называются координаты его конечной точки.
Если и , то суммой и разностью являются соответственно векторы:
А произведение вектора на число есть вектор .
Длина вектора равна корню квадратному его из суммы квадратов его координат:
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Угол между векторами и определяется по формуле
Пример 3.1.Даны векторы:
Найти:
а) векторы и ;
б) длины векторов и ;
в) скалярный квадрат вектора ;
г) скалярное произведение векторов ;
д) угол меду векторами и ;
Решение:
а) По определению и .
б) Найдем длины векторов:
в) Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля вектора, т.е.:
г) Найдем скалярное произведение:
д) Найдем угол между векторами:
откуда
2. ПРОВЕРКА НА БАЗИС.
Совокупность линейно независимых векторов мерного пространства называются базисом.
Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , такие что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство:
.
Если три вектора являются линейно независимыми (т.е. являются базисом) то они компланарны (не лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях).
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных в декартовом базисе, является равенство нулю определителя третьего порядка, в первой строке которого записаны координаты первого вектора, во второй строке – второго, в третьей – третьего.
Пример 3.2.Проверить, образуют ли вектора базис.
и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение.
Базис в трехмерном пространстве могут образовывать любые три линейно независимые вектора, для этого построим определитель, и убедимся что он не равен нулю.
Итак, векторы образуют базис. По теореме про линейную зависимость любых четырех векторов в трехмерном пространстве разложим вектор на векторах .
где искомые координаты вектора .
Решая полученную систему уравнений получим . Таким образом вектор имеет в базисе такие координаты .
3. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор пространства , то говорят, что задан оператор , действующий из в , и записывают .
Оператор называется линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа выполняются соотношения:
1. - свойство аддитивности оператора;
2. - свойство однородности оператора.
Вектор называется образом вектора , а сам вектор - прообразом вектора .
Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице -ого порядка соответствует линейный оператор -мерного пространства.
Связь между вектором и его образом можно выразить в матричной форме уравнением:
,
где А – матрица линейного оператора, , - матрицы-столбцы из координат векторов и .
Пример 3.3.Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти образ вектора .
Решение.
По формуле имеем:
Следовательно, .
4. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Вектор называется собственным векторомлинейного оператора , если найдется такое число , что
.
Число называется собственным значениемоператора (матрицы А), соответствующим вектору .
Равенство можно переписать в матричной форме:
отсюда получим:
.
Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения системы необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю.
Определитель является многочленом -ой степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а уравнение характеристическим уравнением оператора или матрицы А.
Пример 3.4.Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .
Решение. Составляем характеристическое уравнение или ,
откуда собственные значения линейного оператора .
Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:
, или .
Откуда находим или . Положив , получим, что векторы при являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .
Аналогично определяем вектор при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .
5. ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
.
Предполагается, что коэффициенты квадратичной формы - действительные числа, причем . Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.
В матричной записи квадратичная форма имеет вид:
где - матрица-столбец переменных.
Теорема.Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А были положительны (отрицательны).
Если собственные значения разных знаков то знакоопределённость квадратичной формы установить нельзя.
В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.
Теорема.Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. , где:
, , …,
Для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка:
, , …, .
Если не один из критериев не выполняется, то знакоопределённость матрицы не устанавливается.
Пример 3.5.Проверить знакоопределенность квадратичной формы
a)
б)
Решение:
а) При помощи собственных значений:
Матрица квадратичной формы имеет вид . Для матрицы А характеристическое уравнение имеет вид:
или .
Решая уравнение найдем . Так как корни характеристического уравнения матрицы А положительны, но квадратичная форма положительно определенная.
При помощи критерия Сильвестра:
Так как главные миноры матрицы А
положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма положительно определенная.
б) Матрица квадратичной формы имеет вид . Поскольку при нахождении собственных значений получим уравнение третей степени, для определения знакоопределенности воспользуемся для удобства лишь критерием Сильвестра.
Главные миноры матрицы А:
.
Так как знаки миноров чередуются начиная со знака «минус», то это означает что квадратичная форма отрицательно определена.