Момент инерции однородного стержня

Момент инерции сплошного цилиндра (диска)

Момент инерции кольца

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения

 

 

Рассмотрим тело, вращающееся вокруг оси z, проходящей через центр масс этого тела. Разобьём тело на систему материальных точек с массами . Вектор момента импульса i-й материальной точки относительно центра масс С равен: , а модуль этого вектора .

Найдем проекцию вектора на ось вращения z: . Из заштрихованного треугольника (рис. 1.57) видно, что , где – расстояние от i-й точки до оси вращения (радиус вращения). Тогда и, учитывая, что , где – угловая скорость вращения тела, получим .

Момент импульса тела относительно оси вращения равен сумме проекций моментов импульсов материальных точек, из которых состоит тело, на ось вращения. То есть момент импульса тела относительно оси z равен . Все точки тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, тогда .

Рис. 1.57.

Величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты

 

их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела I относительно данной оси:

 

 

.

Суммирование проводится по всем элементарным массам , на которые мысленно разбито тело. Чем меньше элементарные массы , тем более точным является выражение для момента инерции тела относительно оси вращения, и задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию:

 

.

 

Тогда момент импульса тела относительно оси вращения z равен:

 

 

.

 

Рис. 1.58.

 

Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то векторы моментов импульсов и материальных точек, симметричных относительно оси вращения, при суммировании дают результирующий вектор момента импульса, лежащий на оси вращения (см. рис. 1.58). По правилу правого винта его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости . Тогда вектор момента импульса всего тела по отношению к центру масс С будет равен

 

 

.

 

 

 

Рис. 1.59
Вычислим моменты инерции некоторых простых тел. Найдем момент инерции однородного тонкостенного полого цилиндра (кольца) (см. рис. 1.59) массой m и радиусом R относительно его оси симметрии . Разобьем кольцо на элементарные массы dm. По определению момент инерции . Ввиду малой толщины стенок цилиндра, можно считать, что все элементарные массы находятся на одинаковом расстоянии R от оси . То есть, r = R = const., тогда . Так как есть масса кольца, следовательно, момент инерции кольца относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр масс

 

 

I= mR2.

 

 

 

Рис. 1.60
Найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси . Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины и радиуса . На рис. 1.60 показан только один такой цилиндр (выделен темным цветом). Момент инерции каждого полого цилиндра , где dm – масса элементарного цилиндра. Введем понятие поверхностной плотности массы цилиндра , где – площадь поверхности основания цилиндра. Тогда элементарная масса , где – площадь поверхности элементарного кольца, т. е. . Момент инерции сплошного цилиндра

 

 

.

 

 

Вынесем за знак интеграла:

 

 

.

 

Учитывая, что , получим

 

.

 

 

То есть момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси:

 

 

.

 

Для полого цилиндра момент инерции равен , где R1 и R2 – его внешний и внутренний радиусы.

 

 

Рис. 1.61.
Найдем момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси , проходящей через один из его концов перпендикулярно продольной геометрической оси симметрии (см. рис. 1.61). Разобьем стержень на элементарные массы dm бесконечно малой длины , удаленные от оси вращения на расстояние . Введем понятие линейной плотности массы стержня , где m – масса стержня, l – его длина, тогда элементарная масса , а момент инерции стержня будет равен

 

 

.

 

 

Учитывая, что , получим момент инерции однородного стержня относительно оси :

.