Ранг матрицы.

В математических исследованиях имеет большое значение понятие ранга матрицы.

Пусть дана произвольная матрица размера . Минором к-го порядка М_к называют определитель порядка к (), составленный из элементов, расположенных на пересечении любых к строк и к столбцов. Для данной матрицы можно составить миноров к-го порядка.

Опр. Рангом матрицы r(A) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Очевидно, что r(A) . Для квадратной матрицы п –го порядка r(A)=n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

Если все миноры к-го порядка данной матрицы равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков (почему? ). Поэтому, если среди миноров к-го порядка есть отличный от нуля минор М_к, а все миноры порядка к+1 равны нулю, то ранг такой матрицы равен к. Это свойство дает нам способ вычисления ранга матрицы.

Опр. Отличный от нуля минор порядка r=r(A) называется базисным минором матрицы А, а строки и столбцы в которых он расположен, называются базисными строками (столбцами).

Любая строка матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк. (То же верно для столбцов). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Можно доказать, что посредством элементарных преобразований любая ненулевая матрица А приводится к треугольной матрице В:

В матрице В вычеркиваем строки, все элементы которых равны нулю, что не изменяет ранга матрицы. Ранг полученной матрицы, состоящей из r строк, равен r, так как минор порядка r в левом верхнем углу отличен от нуля. Тогда и r(В) = r, т.е. ранг треугольной матрицы равен числу ее ненулевых строк. Матрица В получена из А путем элементарных преобразований, поэтому r(А) = r.

Вывод: для того, чтобы найти ранг матрицы, необходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду и подсчитать количество ненулевых строк.