Метод узловых потенциалов

Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимаются потенциалы узлов, называется методом узловых потенциалов. Допустим, в схеме у узлов. Так как любая одна точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то один из узлов можно заземлить, т.е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с у до (у – 1).

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые нужно составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В тех случаях, когда (у – 1) меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов.

Обратимся к схеме рис. 1.28.

Рис. 1.28. Схема четырехконтурной электрической цепи с четырьмя источниками э.д.с.

 

Принимаем потенциал одного из узлов схемы, например, третьего, равным нулю, обозначим положительные направления токов и записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для первого и второго узлов:

I6 + I5I1I4 = 0;

I3I2I6I5 = 0.

Токи в ветвях схемы:

I6 = (φ1φ2) g6; I5 = (φ1φ2 + Е5) g5 ;

I2 = (–φ2 + Е2) g2; I3 = (φ2 + Е3) g3 ;

I1 = (–φ1 + Е1) g1; I4 = (–φ1 ) g4 .

 

Подставим значения токов в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа:

φ1 g6 φ2 g6 +φ1 g5 φ2 g5 + Е5g5 + φ1 g1Е1g1 + φ1 g4 = 0

φ1 g3 +E3 g3 + φ2 g2 E2 g2φ1g6 + φ2 g6φ1g5 + φ2 g5E5 g5 = 0.

Производим группировку членов:

φ1 (g6 + g5 + g1 + g4) – φ2 (g6 + g5) = Е1g1 Е5g5

φ1 (g6 + g5) + φ2 (g3 + g2 + g6 + g5) = Е2g2 Е3g3 + Е5g5 ,

где: g6 + g5 + g1 + g4 = g11 – собственная проводимость первого узла;

g3 + g2 + g6 + g5 = g22 – собственная проводимость второго узла;

g6 + g5 = g12 = g21 – общая узловая проводимость.

Окончательно получаем:

φ1 g11φ2 g12 =

φ1 g21 + φ2 g22 = .

В результате решения системы уравнений известными методами определяем φ1 и φ2.

Подставляя значения φ1 и φ2 в уравнения для токов, находим действительные токи в ветвях схемы.