Метод узловых потенциалов

Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимаются потенциалы узлов, называется методом узловых потенциалов. Допустим, в схеме у узлов. Так как любая одна точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то один из узлов можно заземлить, т.е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с у до (у – 1).

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые нужно составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В тех случаях, когда (у – 1) меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов.

Обратимся к схеме рис. 1.28.

Рис. 1.28. Схема четырехконтурной электрической цепи с четырьмя источниками э.д.с.

Принимаем потенциал одного из узлов схемы, например, третьего, равным нулю, обозначим положительные направления токов и записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для первого и второго узлов:

I₆ + I₅ – I₁– I₄ = 0;

I₃ – I₂ – I₆ – I₅ = 0.

Токи в ветвях схемы:

I₆ = (φ₁–φ₂) g₆; I₅ = (φ₁–φ₂ + Е₅) g₅ ;

I₂ = (–φ₂ + Е₂) g₂; I₃ = (φ₂ + Е₃) g₃ ;

I₁ = (–φ₁ + Е₁) g₁; I₄ = (–φ₁ ) g₄ .

Подставим значения токов в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа:

φ₁ g₆ – φ₂ g₆ +φ₁ g₅ – φ₂ g₅ + Е₅g₅ + φ₁ g₁ – Е₁g₁ + φ₁ g₄ = 0

φ₁ g₃ +E₃ g₃ + φ₂ g₂ – E₂ g₂ – φ₁g₆ + φ₂ g₆ – φ₁g₅ + φ₂ g₅ – E₅ g₅ = 0.

Производим группировку членов:

φ₁ (g₆ + g₅ + g₁ + g₄) – φ₂ (g₆ + g₅) = Е₁g₁ – Е₅g₅

–φ₁ (g₆ + g₅) + φ₂ (g₃ + g₂ + g₆ + g₅) = Е₂g₂ – Е₃g₃ + Е₅g₅ ,

где: g₆ + g₅ + g₁ + g₄ = g₁₁ – собственная проводимость первого узла;

g₃ + g₂ + g₆ + g₅ = g₂₂ – собственная проводимость второго узла;

g₆ + g₅ = g₁₂ = g₂₁ – общая узловая проводимость.

Окончательно получаем:

φ₁ g₁₁ – φ₂ g₁₂ =

–φ₁ g₂₁ + φ₂ g₂₂ = .

В результате решения системы уравнений известными методами определяем φ₁ и φ₂.

Подставляя значения φ₁ и φ₂ в уравнения для токов, находим действительные токи в ветвях схемы.