Метод итераций

Предполагается, что система уравнений представлена в виде

, (5.1)

где , - непрерывно дифференцируемые функции переменных в области D, содержащей решение системы (5.1). Обозначив через и , систему (5.1) можно представить в более удобном для изложения виде

Пусть , - некоторое приближение к искомому решению. Тогда вычислительный процесс, организуемый по формуле

, (5.2)

где к = 0, 1, 2, … называется методом итераций. Если при вычислении очередной координаты к+1 – го приближения использовать вычисленные перед этим значения предыдущих координат этого же приближения, получим модификацию, называемую методом Зейделя.В ней алгоритм вычислений описывается следующим образом

При определенных условиях метод итераций (5.2) сходится к точному решению системы (5.1). Установим эти условия, используя, как и выше, понятие сжимающего отображения.

В n-мерном пространстве набор функций определяет некоторое непрерывно дифференцируемое отображение. Выше (см. Лекция 3) было показано, что сходимость итерационной последовательности обеспечивается сходимостью образующего ее отображения.

Пусть - произвольные точки , оценим . Предположим, что величина достаточно мала и в тейлоровских разложениях функций в точке позволительно ограничиться величинами первого порядка малости. Тогда

где

, (5.3)

- матрица Якоби системы функций .

Если в области D, отображение является сжимающим и есть основания считать, что итерационный процесс (5.2) сходится к решению системы (5.1). Более определенно это формулируется в виде следующей теоремы:

Пусть в области D система (5.1) имеет, по крайней мере, одно решение, принадлежащее ее внутренней части и норма якобиевой матрицы в замыкании области D меньше единицы. То есть,такое , что . Тогда в области D система (5.1) имеет решение и итерационный процесс (5.2) сходится к одному из решений при любом

выборе начального приближения .

Погрешность к-го приближения, как и ранее (см. Лекция 3), можно оценить соотношением

Замечание.Нередко исходная система уравнений бывает представленной в неявной форме

, (5.4)

где якобиан системы

Тогда для приведения (5.4) к виду (5.1), обеспечивающему сходимость, можно использовать соображения, аналогичные высказанным выше (см. Лекция 4). А именно, умножим обе части (5.4) на некоторую неособенную квадратную матрицу А

прибавим, далее к обеим частям х

обозначим

и потребуем, чтобы

Из этого соотношения можно определить коэффициенты матрицы А. Если это сделать затруднительно для всей области D, то указанную операцию можно производить пошагово на каждом шаге итерационного процесса.

Поясним это на примере двух уравнений