Понятие о твердом теле, которое вращается вокруг неподвижной точки. Свободные оси вращения. Гироскоп. Условия равновесия твердого тела. Виды равновесия.

При поступательном движении все точки твердого тела совершают равные перемещения за один и тот же промежуток времени. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Этот факт позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной частицы тела, т. е. к задаче кинематики частицы. Таким образом, поступательное движение твердого тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени радиус-вектора любой точки этого тела и его положение в начальный момент.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси .

.

РИС.№1 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Пусть твердое тело, вращаясь вокруг нее, совершило за время бесконечно малый поворот. Угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота , а направление совпадает с осью 00', причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора (рис.1). Вектор называется аксиальным вектором, тогда как вектор перемещения является полярным вектором (к ним также относятся векторы скорости и ускорения). Они отличаются тем, что полярный вектор кроме длины и направления имеет точку приложения (полюс), а аксиальный вектор имеет только длину и направление, но не имеет точки приложения. Векторы такого типа часто применяются в физике. К ним, например, относятся все вектора, являющиеся векторным произведением двух полярных векторов.

Найдем элементарное перемещение любой частицы А твердого тела при таком повороте. Положение частицы А зададим радиус-вектором , проведенным из некоторой точки О на оси вращения. Тогда линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом поворота соотношением (рис. 2.6)

или в векторном виде

Заметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота ,то есть только бесконечно малые повороты можно рассматривать как векторы. Для конечного поворота на угол линейное перемещение частицы А определяется формулой:

Очевидно, что перемещение нельзя представить как векторное произведение векторов и, так как это возможно лишь при бесконечно малом повороте, когда радиус-вектор можно считать неизменным.

Можно показать, что введенный вектор удовлетворяет основному свойству векторов - векторному сложению. Пусть твердое тело совершает два элементарных поворота ₁ и ₂ вокруг разных осей, проходящих через неподвижную точку О. Тогда суммарное перемещение произвольной частицы А тела, радиус-вектор которой относительно точки О равен , можно представить так:

,

где

Мы доказали, что два поворота, ₁ и ₂, эквивалентны одному повороту на угол вокруг оси, совпадающей с вектором и проходящей через точку О.

Введем теперь векторы угловой скорости и углового ускорения таким же способом, как мы вводили векторы и . Вектор угловой скорости определяют так

где dt - интервал времени, за который тело совершает поворот . Вектор совпадает по направлению с вектором и является аксиальным вектором.

Изменение вектора со временем характеризуют вектором углового ускорения , который определяют соотношением,

Направление вектора совпадает с направлением - приращения угловой скорости . Вектор , как и , также аксиальный.

Представление угловой скорости и углового ускорения в виде векторов очень полезно при изучении более сложных движений твердого тела. Это позволяет во многих случаях получить большую наглядность, а также резко упростить как анализ движения, так и соответствующие расчеты.

Представим выражения для угловой скорости и углового ускорения в проекциях на ось вращения Оz, положительное направление которой свяжем правилом правого винта с положительным направлением отсчета координаты (рис. 2).

РИС.№2 Введение понятия угловых векторов

Тогда проекции и векторов и на ось определяются формулами:(*)

В этих формулах и - алгебраические величины. Их знак характеризует направление соответствующего вектора. Например, если , то направление вектора совпадает с положительным направлением оси z. Если , то и направление вектора противоположно. Аналогично правило верно для углового ускорения.

По известной зависимости , называющейся законом вращения тела, формулы (*) дают возможность определить угловую скорость и угловое ускорение в любой момент времени. Из зависимости углового ускорения от времени и начальных условий, т. е. угловой скорости и угла ( в начальный момент времени, можно найти и .

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где и - некоторые положительные постоянные. Определим движения тела.

Согласно (*) , . Из этих соотношений видно, что тело вращается равнозамедленно (), останавливается в момент времени , а затем начинает вращаться в противоположном направлении ().

Легко заметить, что все задачи на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси аналогичны по форме задачам на прямолинейное движение частицы. Достаточно заменить линейные величины x, и на соответствующие угловые , и , как получаются все закономерности и соотношения для вращающегося тела.