Применение двойных интегралов

а) Вычисление объемов тел

Данное тело спроецируем на одну из координатных плоскостей. Пусть для определенности тело спроецировано на плоскость X0Y в область D. Будем предполагать, что любая прямая, проходящая через D параллельно оси 0Z пересекает границу тела не более чем в двух точках. Тогда граница тела разобьется на нижнюю и верхнюю части, уравнения которых запишем в виде Z=f₁(x,y)

и Z=f₂(x,y). В этом случае объем тела находится по формуле

б) Вычисление площади поверхности

Пусть Q есть участок поверхности Z=f(x,y), а D проекция этого участка на плоскость X0Y.

Площадь поверхности Q вычисляется по формуле:

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и Z=5