Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Напомним, что полярная система координат задаётся точкой 0 (полюсом) и лучом 0Р (полярой). Точка М в полярной системе координат задаётся двумя числами ρ и , где ρ – расстояние от точки М до полюса, а – угол между полярой и радиус-вектором точки М. Пусть даны декартова система координат с полюсом в точке 0 и полярой 0Р, совпадающей с положительной полуосью 0Х. В этом случае формулы перехода от декартовой системы координат к полярной имеют вид:

Далее имеем:

Где D* отображается в D, а якобиан имеет вид

При вычислении интегралов не обязательно изображать на чертеже область D*.

Рассмотрим это более подробно.

Будем предполагать, что область не содержит внутри полюс О и любой луч, который исходит из полюса пересекает границу не более, чем в двух точках

Теперь рассмотрим случай, когда полюс внутри области интегрирования D, а любой луч, который исходит из полюса, пересекает в одной точке

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью X0Y и поверхностью z= 1-x²-y² .

Поверхность z= 1-x²-y² пересекается с плоскостью X0Y (z=0) по окружности 1-x²-y² =0; x²+y²=1. Данное тело проецируется на плоскость X0Y в круг с центром в начале координат радиуса 1. Следовательно:

При вычислении данного интеграла удобно перейти к полярным координатам.

Так как внутренний интеграл не содержит , то внешний интеграл по можно вычислять сразу.