Тема 3. Введение в анализ
§1. Понятие и способы задания функций. Основные свойства функции. Сложная и обратная функции.
О.1. Пусть даны два непустых множества и . Соответствие (закон) , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается или .
При этом является независимой переменной или аргументом, - зависимой переменной или значением функции, множество называется областью определения (или существования) функции, множество - областью значений функции, а буква f обозначает закон соответствия.
Функция может быть задана тремя основными способами: аналитически, таблично или графически.
Например:
1) функция (антье) – целая часть, где n – наибольшее из целых чисел не превосходящее аргумента .
2) функция - дробная часть числа: .
Рассмотрим основные свойства функций.
1. Четность и нечетность.Функция , определенная на множестве D называется четной, если для любых значений и нечетной, если. Иначе функция называется функцией общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2. Монотонность.Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Т.е. если и , то функция возрастает; если и , то функция убывает.
Если и то функция называется неубывающей, если и , то функция называется невозрастающей.
Функции возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие называются монотонными функциями. Функции возрастающие, убывающие, называются строго монотонными функциями.