МЕТОД ГРАФОВ В РЕШЕНИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ
Решение многих вопросов и задач теории вероятностей можно проиллюстрировать с помощью графов, что позволяет сделать рассматриваемый материал более наглядным и доступным.
Граф является наглядной иллюстрацией проводимого испытания. Его точное определение можно найти в дискретной математике.
Граф имеет следующую структуру:
начало исходы
На каждом ребре графа проставляют вероятность соответствующего исхода.
Пример 11.1.Постройте граф для испытания, заключающегося в двух подбрасываниях монеты на твердую поверхность.
Решение. Поскольку каждое подбрасывание монеты может закончиться одним из двух исходов, а именно, выпадением «герба» или «решки», то граф выглядит следующим образом:
| Исходы: | Вероятность: | ||||||
| ГГ | ¼ | ||||||
| ГР | ¼ | ||||||
| РГ | ¼ | ||||||
| РР | ¼ |
При подсчете вероятностей будем пользоваться следующими правилами:
1. Сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, должна быть равна единице.
2. Вероятность попадания из начальной вершины графа в конечную (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречающиеся на ребрах графа.
Так, вероятность исхода «ГГ» равна .
3. Если нужно вычислить вероятность события, которому благоприятствует несколько исходов, то вероятности этих исходов складываются.
Так, вероятность события А – выпадение хотя бы одного герба при двух подбрасываниях монеты – будет складываться из суммы вероятностей исходов «ГГ», «ГР» и «РГ»:
Решим пример 10.3из предыдущего параграфа методом графов:
Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов.
Расставим вероятности на ребрах графа. При извлечении первого шара вероятность достать белый шар равна (в корзине из 6 шаров 2 белых), а черный - (в корзине из 6 шаров 4 черных).
Когда мы извлекаем второй шар, в корзине уже осталось 5 шаров. Если первый шар был белый, то в корзине осталось 4 черных и 1 белый шар, следовательно, вероятность достать белый шар равна , а черный - . Если первый был извлечен черный шар, то в корзине осталось 3 черных и 2 белых шара, следовательно, вероятность достать белый шар равна , а черный - .
Проверим, верно ли мы расставили вероятности. Сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, равна 1, следовательно, все сделали верно.
В колонке «исходы» получили все возможные исходы данного испытания. Для вычисления вероятности каждого исхода, необходимо перемножить вероятности на рёбрах графа.
| 1-й шар | 2-й шар | исходы | вероятность | |||||
| | =Р(А) + =Р(С) = Р(В) |
По графу легко определить вероятности событий А (извлечь 2 белых шара) и В (извлечь 2 черных шара). Для нахождения вероятности события С (извлечь шары разного цвета) необходимо сложить вероятности второго и третьего исходов. Для нахождения вероятности события D (извлечь шары одного цвета) необходимо сложить вероятности первого и четвертого исходов: .
Ответ: ,, ,.
| Б. Паскаль |
В практике азартных игр довольно часто возникали ситуации, попытки разобраться с которыми приводили к жарким спорам и даже дуэлям. Вопросы де Мере были именно такого свойства.
Двое играют в «орлянку» до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй – три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?
Контрольные вопросы:
1. Какую структуру имеет граф в теории вероятностей?
2. Перечислите основные правила, используемые в практике работы с графами.
3. Решите задачу методом графов: В вагон погрузили 12 одинаковых с виду ящиков с фруктами: 7 с апельсинами и 5 с грушами. В качестве подарка два случайным образом выбранные ящика отвезли в детский сад. Какова вероятность, что детишкам досталось и яблоки, и груши?