МЕТОД ГРАФОВ В РЕШЕНИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ

Решение многих вопросов и задач теории вероятностей можно проиллюстрировать с помощью графов, что позволяет сделать рассматриваемый материал более наглядным и доступным.

Граф является наглядной иллюстрацией проводимого испытания. Его точное определение можно найти в дискретной математике.

Граф имеет следующую структуру:

 

начало исходы

 

 


На каждом ребре графа проставляют вероятность соответствующего исхода.

Пример 11.1.Постройте граф для испытания, заключающегося в двух подбрасываниях монеты на твердую поверхность.

Решение. Поскольку каждое подбрасывание монеты может закончиться одним из двух исходов, а именно, выпадением «герба» или «решки», то граф выглядит следующим образом:

½
1-й раз 2-й раз

Исходы: Вероятность:
Г
Р
Г
Р
Г
Р

ГГ ¼
½
½
½

ГР ¼
½
½

РГ ¼
  РР ¼

При подсчете вероятностей будем пользоваться следующими правилами:

1. Сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, должна быть равна единице.

2. Вероятность попадания из начальной вершины графа в конечную (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречающиеся на ребрах графа.

Так, вероятность исхода «ГГ» равна .

3. Если нужно вычислить вероятность события, которому благоприятствует несколько исходов, то вероятности этих исходов складываются.

Так, вероятность события А – выпадение хотя бы одного герба при двух подбрасываниях монеты – будет складываться из суммы вероятностей исходов «ГГ», «ГР» и «РГ»:

 

Решим пример 10.3из предыдущего параграфа методом графов:

Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов.

Расставим вероятности на ребрах графа. При извлечении первого шара вероятность достать белый шар равна (в корзине из 6 шаров 2 белых), а черный - (в корзине из 6 шаров 4 черных).

Когда мы извлекаем второй шар, в корзине уже осталось 5 шаров. Если первый шар был белый, то в корзине осталось 4 черных и 1 белый шар, следовательно, вероятность достать белый шар равна , а черный - . Если первый был извлечен черный шар, то в корзине осталось 3 черных и 2 белых шара, следовательно, вероятность достать белый шар равна , а черный - .

Проверим, верно ли мы расставили вероятности. Сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, равна 1, следовательно, все сделали верно.

В колонке «исходы» получили все возможные исходы данного испытания. Для вычисления вероятности каждого исхода, необходимо перемножить вероятности на рёбрах графа.

1-й шар 2-й шар исходы вероятность
 
 
 
 
 
 

    =Р(А)     + =Р(С)     = Р(В)

По графу легко определить вероятности событий А (извлечь 2 белых шара) и В (извлечь 2 черных шара). Для нахождения вероятности события С (извлечь шары разного цвета) необходимо сложить вероятности второго и третьего исходов. Для нахождения вероятности события D (извлечь шары одного цвета) необходимо сложить вероятности первого и четвертого исходов: .

Ответ: ,, ,.

Б. Паскаль
Используя метод графов, попробуйте самостоятельно решить историческую задачу де Мере. Перенесёмся во Францию, первую половину XVII века. Известный, т.е. опытный и азартный, игрок шевалье де Мере обращается к Блезу Паскалю с просьбой помочь ему в разрешении двух вопросов. Паскаль, ознакомившись с вопросами, соглашается подумать над ними. И довольно скоро находит ответ.

В практике азартных игр довольно часто возникали ситуации, попытки разобраться с которыми приводили к жарким спорам и даже дуэлям. Вопросы де Мере были именно такого свойства.

Двое играют в «орлянку» до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй – три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?

Контрольные вопросы:

1. Какую структуру имеет граф в теории вероятностей?

2. Перечислите основные правила, используемые в практике работы с графами.

3. Решите задачу методом графов: В вагон погрузили 12 одинаковых с виду ящиков с фруктами: 7 с апельсинами и 5 с грушами. В качестве подарка два случайным образом выбранные ящика отвезли в детский сад. Какова вероятность, что детишкам досталось и яблоки, и груши?