Теория игр как основа принятия управленческих решений

До сих пор обсуждались методы осуществления выбора проектного решения в условиях, когда последствия определялись однозначно. Но ЛПР приходится принимать решения и в тех случаях, когда на развитие ситуации оказывали влияние и другие участники общественной жизни. В связи с этим в теории управления существенно возросло значение теории игр. Теория игр проникла в практику принятия управленческих решений. При разработке управленческих решений она применима для принятия оптимальных решений в неопределенных ситуациях.

Уже в момент ее зарождения, которым считают публикацию в 1944 г. монографии Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», можно было предвидеть революцию в процессе разработки управленческих решений благодаря использованию нового подхода.

Теория игр – это область математического анализа, разработанная выдающимся математиком Дж. фон Нейманом. Теория игр возникла вовсе не из желания математически описать развлекательные игры. В гораздо большей степени на ее появление сказалась потребность исследовать математическими методами экономические проблемные ситуации (например, конкурентная борьба на рынке), политические (противостояние стран НАТО и Варшавского договора), социальные (спрос и предложение на рынке труда) и т.д.

Теория игр служит для поиска оптимального управленческого решения на основе математического анализа поведения заинтересованных сторон в конкретной ситуации. Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр и непосредственно связаны с управленческими задачами. Вполне вероятно, что теория игр будет восприниматься как один из эффективных методов разработки управленческих решений.

Играть, конечно, умеет каждый, но играть с максимальным успехом (или минимальным проигрышем), т.е. играть оптимально – это искусство, которым владеет далеко не каждый. Здесь следует понимать о каких играх идет речь. Само собой разумеется, что 1) игры счастливого случая (такие как «русское лото») и 2) игры с естественными силами не поддаются анализу с позиций теории игр. Это не означает отсутствие математического аппарата для данных категорий игр (например, игра счастливого случая хорошо описывается теорией вероятности), а лишь говорит о том, что в этих играх отсутствует оптимальное поведение, наилучший образ действия.

Большое влияние на принятия управленческих решений играет фактор неопределенности. В этом случае выбор альтернативы неоднозначно определяет последствия сделанного выбора: имеется набор возможных исходов (y Î Y), из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но какой именно в момент выбора – неизвестно, а станет ясным в тот момент, когда выбор сделан и изменить что-либо уже невозможно. Хотя с каждой альтернативой x связано одно и то же множество исходов Y, для разных альтернатив одинаковые исходы имеют разное значение. В случае дискретного набора альтернатив и исходов такую ситуацию можно изобразить с помощью матрицы, имеющей название матрицы платежей:

.

В этой матрице строки задают имеющиеся исходные альтернативы (х Î Х), столбцы – возможные исходы (y Î Y), а числа q_ij выражают оценку ситуации для случае, когда сделан выбор x_i и реализован исход y_j. В разных случаях числа q_ij могут иметь различный смысл: выигрыш, потеря, платеж, прибыль и т.д., а также иметь различные показатели: деньги, людские потери, очки и т.д. Принято записывать положительные числа в ячейки матрицы ║Q║ в том случае, если для игрока данная ситуация приносит определенный выигрыш. В противном случае в ячейку заносятся отрицательные числа.

Чтобы описать игру, необходимо сначала выявить ее участников. Это условие легко выполнимо, когда речь идет об обычных играх типа шахмат. Иначе обстоит дело с «рыночными играми». Здесь не всегда просто распознать всех игроков, т.е. все заинтересованные и задействованные стороны. Практика показывает, что не обязательно идентифицировать всех игроков, надо обнаружить наиболее важных.

Теория игр при принятии управленческих решений служит для анализа только таких игровых ситуаций, на исход которых непосредственно влияют рассуждения ЛПР как игроков. Другими словами, это игры, в которых игрок может сделать хороший или плохой ход, как, например, в шахматах. В теории игр, исследующего такого рода ситуации, две или несколько сторон (конкурирующих или партнерских) рассматриваются как игроки, стремящиеся достичь максимально возможный эффект или свести к минимуму свои потери. Такие игровые ситуации превращаются в задачи теории игр. При этом вопрос стоит следующим образом: как надлежит вести себя в той или иной игровой ситуации, чтобы максимально увеличить свой выигрыш или свести к минимуму свои потери. Выигрыш и потери – не обязательно денежные суммы.

В данном случае имеется две матрицы: ║Q^A║ и ║Q^B║, – описывающие игровые ситуации с позиций двух играющих сторон: игрока А и В. Расхождение между значениями в соответствующих ячейках матриц ║Q^A║ и ║Q^B║ определяет уровень антагонизма между игроками. Если для каждой ячейки , то соперничество в игре называется строгим, а если , то игра называется игрой с нулевой суммой.

Важна и графическая форма предоставления игры. Обычно выделяют нормальную, или матричную, форму и развернутую, заданную в виде дерева. Эти формы для простой игры представлены ниже (рис. 37).

а б

Рис. 8. Нормальная (а) и развернутая (б) форма представления игры

Игры охватывают, как правило, несколько периодов, в течение которых игроки предпринимают последовательные или одновременные действия. Эти действия обозначаются термином «ход». Периоды, в течение которых игроки делают свои ходы, называются турами игры. Выбранные на каждом этапе ходы в конечном счете определяют «платежи» (выигрыш или убыток) каждого игрока.

Еще одним основным понятием данной теории является «стратегия игрока». Под ней понимаются возможные действия, позволяющие игроку на каждом этапе игры выбирать из определенного количества альтернативных вариантов такой ход, который представляется ему «лучшим ответом» на действия других игроков. Относительно стратегии следует заметить, что игрок определяет свои действия не только для этапов, которых фактически достигла конкретная игра, но и для всех ситуаций, включая и те, которые могут и не возникнуть в ходе данной игры.

Чтобы установить связь с прогнозно-проектной деятельностью, игру можно описать следующим образом. Два консультативных учреждения (учреждение А и В), работающие в одной и той же сфере и оказывающие однотипные услуги, стоят перед выбором: какую установить цену на свои услуги, чтобы получить максимальную прибыль (возможен вариант – удовлетворить максимальное количество клиентов). Каждое из консультативных заведений может установить свои цены выше, ниже или на уровне общероссийских. Эксперты установили, что для первого учреждения (А) установление цены выше общероссийских ведет к тому, что, если его конкурент устанавливает аналогично высокие цены, то учреждение получает ежемесячную прибыль в размере 9 тыс.руб. При установлении конкурентной организацией цены на уровне общероссийский прибыль составит 6 тыс. руб., а если ниже, то организация А понесет убыток в размере 3 тыс. руб. Если организация А устанавливает на услуги цены на уровне общероссийских, то независимо от цены конкурента организация получит прибыль в 3 тыс. руб. ежемесячно. Устанавливая на свои консультативные услуги цены ниже общероссийских цен, организация понесет убыток 1 тыс.руб. в случае установлении конкурентами аналогично низко цены, получит прибыль в 2 тыс.руб. и 6 тыс. руб. соответственно при установлении конкурентами цены на уровне или выше общероссийских цен. Отсюда возникает задача, какую стратегию выбрать: 1) чтобы минимизировать свои потери или 2) максимизировать свою прибыль. Результаты данных аналитических рассуждений можно представить в виде матрицы ║Q^A║, описывающей игровую ситуацию с позиций организации А.

Таблица 4

Построение игровой матрицы с позиций организации А

Отсюда игровая матрица организации А имеет следующий вид: .

Центральным моментом теории игр является введение критерия для оценки выбираемого решения. В силу неопределенности исхода необходимо дать оценку целой строке матрицы, а затем на основе таких оценок каждой строки и сравнивая их между собой делается выбор в пользу того или иного альтернативного решения.

Самыми распространенными критериями выбора решения являются максиминный критерий, минимаксный критерий, критерий сожаления и критерий пессимизма/оптимизма:

1. Максиминный критерий обеспечивает гарантированный максимальный выигрыш при реализации управленческого решения. Для его расчета используют следующую формулу

;

в которой в начале при анализе каждой строки выявляется минимальные положительные значения (выигрыши) , а затем среди них находится максимальное положительное значение . В дальнейшем для данного значения и определяется номер альтернативы х. Процесс выбора альтернативы представлен ниже(рис.38).

Рис. 9. Процесс выбор альтернативы на основе максиминного критерия.

2. Минимаксный критерий обеспечивает минимальный проигрыш во время игры, т.е. позволяет минимизировать свои потери при реализации управленческого решения в случае более выгодного положения конкурента. Для его расчета используют следующую формулу

в которой при анализе каждой строки выявляется максимальное отрицательное значение, т.е. наибольшие возможные потери , а затем среди них отыскивается минимальное отрицательное значение . В дальнейшем для данного значения и определяется номер альтернативы х. Процесс выбор альтернативы представлено ниже (рис.).

Рис. 10. Процесс выбор альтернативы на основе максиминного критерия

3. Критерий сожаления (критерий Сэвиджа) позволяет ЛПР как игроку «усреднять» проигрыш и выигрыш от реализации управленческого решения в условиях риска. Для данного критерия в каждой строчке находят разницу между максимальным проигрышем и минимальным выигрышем, а затем выбирают минимальное значение их разницы

.

Процесс выбора альтернативы представлен ниже (рис.40).

Рис. 11. Процесс выбор альтернативы на основе критерия Сэвиджа

4. Критерий пессимизма/оптимизма (критерий Гурвица) обеспечивает по желанию игрока определенный баланс между минимальным проигрышем и максимальным выигрышем во время игры. В данном случае в расчетную формулу вводят весовой коэффициент k_w из интервала [0,1], задающий желание игрока минимизировать проигрыш или максимизировать выигрыш. Для его расчета используют следующую формулу

. (9.18)

в которой при анализе каждой строки выявляется максимальное отрицательное и минимальное положительное значение, затем оно умножается на весовой коэффициент и далее между ними находится разница. После этого среди отыскивается минимальная разница , и для данного значения номер альтернативы х. Процесс выбор альтернативы представлен ниже (рис.41).

Рис. 12. Процесс выбор альтернативы на основе критерия Гурвица.

Задание 1.Для выше приведенной игровой матрицы консультативной организации, предполагающей оказывать социальные услуги, необходимо выбрать стратегию, опираясь на максиминный критерий, минимаксный критерий, критерий сожаления и критерий пессимизма/оптимизма.