Метод Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.
Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M0(x0,y0) равен 
.
Найдем ординату y1 касательной, соответствующей абсциссе x1=x0+h.
Уравнение касательной к кривой в точке M0 имеет вид 
или 
, откуда y1=y0+hf(x0,y0).
Аналогично, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M1(x1,y1) равен 
. Точку M2(x2,y2) получим соответственно
x2=x1+h y2=y1+hf(x1,y1).
Продолжая вычисления по данной схеме, получим формулы Эйлера для приближенного решения задачи Коши с начальными данными (x0,y0) на сетке отрезка [a, b] с шагом h:
xi=xi-1+h yi=yi-1+hf(xi-1,yi-1). (4)
|
|
Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки M0, M1, …,Mm, которую называют ломаной Эйлера.
 |
Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством
, (5)
которое можно представить в виде d=Ch, где 
. Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке xiÎ[a, b] производят с помощью приближенного равенства – правила Рунге:
(6)
где P – порядок точности численного метода.
Таким образом, оценка полученного результата по правилу Рунге вынуждает проводить вычисления дважды: с шагом h и h/2, причем совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает основание считать их верными.
Программа решения дифференциального уравнения методом Эйлера
program Eiler;
var x,a,b,h,y:real;
m,i:integer;
function f(x,y: real): real;
begin f:=cos(x);
end;
begin writeln('Введите значения концов отрезка [a,b]');
readln(a,b);
writeln('Введите начальное значение y0=y(x0)');readln(y);
writeln('Введите число значений функции на промежутке [a,b]'); read(m);
x:=a; h:=(b-a)/m;
for i:=0 to m do
begin writeln (x:10:3, y:15:4);
y:=y+h*f(x,y); x:=x+h
end; readln;
end.
| Блок-схема решения ДУ методом Эйлера | Результаты выполнения программы |
| Введите значения концов отрезка [a,b] 0 1.57 Введите начальное значение y0=y(x0) Введите число значений функции на промежутке [a,b] 0.000 0.0000 0.157 0.1570 0.314 0.3121 0.471 0.4614 0.628 0.6013 0.785 0.7283 0.942 0.8394 1.099 0.9317 1.256 1.0031 1.413 1.0517 1.570 1.0764 |