Метод Бубнова-Галеркина.
Расчет прогибов в абсолютно гибкой мембране.
Расчет прогибов и напряжений в плоской мембране в области больших перемещений.
В начале нагружения при малых прогибах мембрана работает на изгиб. Срединная плоскость, равноотстоящая от поверхностей мембраны, почти не удлиняется. В области малых перемещений мембрана имеет упругую характеристику, близкую к линейной. При последующем увеличении нагрузки прогибы мембраны становятся соизмеримыми с толщиной. Срединная поверхность удлиняется, и помимо напряжений изгиба в материале мембраны появляются напряжения растяжения, соизмеримые с изгибными. При растяжении мембраны ее сопротивление внешней нагрузке возрастает, прогибы мембраны при этом увеличиваются медленнее, чем нагрузка, и упругая характеристика становится затухающей. Расчет мембраны в области больших перемещений должен быть основан на нелинейной теории, учитывающей как изгиб, так и растяжение мембраны в срединной поверхности. В отличие от линейно теории уравнения равновесия составляют для деформированного состояния.
Для расчета мембран можно воспользоваться уравнениями Феодосьева 4го порядка, которые могут быть получены из уравнений Эрика Рейснера 6го порядкад ля случая плоских осесимметричных оболочек. Эти уравнения имеют вид:
где , ,
- растягивающая сила,
- безразмерная функция мембранного радиального усилия. Если принять равной нулю, то получим уравнения малых прогибов.
Используются обозначения:
o и - текущий и полный радиус мембраны соответственно;
o - давление на мембрану;
o - толщина мембраны;
o - модуль Юнга материала мембраны;
o - коэффициент Пуассона;
o - цилиндрическая жесткость,
;
o - изменение угла поворота нормали (в нашем случае равное углу поворота , т.к. мал);
;
;
;
.
Получить аналитическое решение этих уравнений не удается. Решение проводится или приближенным методом, или на ЭВМ.
Дальнейшее увеличение прогибов происходит в основном в результате растяжения мембраны. В этом случае расчет можно производить по теории абсолютно гибкой мембраны без учета жесткости на изгиб.
Тогда уравнения Феодосьева можно записать в следующем виде:
,
т.е. изгибной жесткостью можно пренебречь.
;
.
;
.
Считаем, что мембрана принимает форму, близкую к сферической. Тогда получим следующее выражение для угла поворота нормали :
.
В случае любого другого нагружения мембраны ее прогиб можно представить общим выражением вида
.
Для рассматриваемого нагружения мембраны давлением для функции радиального усилия будем иметь следующее выражение:
.
Проверим справедливость этого выражения, дважды продифференцировав и подставив полученное выражение в первое уравнение приведенной выше системы:
;
;
.
Получили тождество, что доказывает правильность выбранного вида функции .
Теперь необходимо определить константы , и . Для этого воспользуемся граничными условиями:
При ;
При .
Тогда функция радиального усилия :
.
Далее составляем функцию невязки:
;
.
Отсюда находим константу :
.
Зная константы, можно определить зависимость между давлением на мембрану и прогибом в центре мембраны в безразмерной форме. Для этого определим прогиб в центре мембраны:
.
Тогда в безразмерной форме получим следующую упругую характеристику:
;
;
при
Таким образом, рассмотрев два крайних случая поведения мембраны как абсолютно гибкой, когда увеличение прогибов происходит в результате растяжения мембраны, и в области малых прогибов, когда мембрана работает на изгиб, а ее срединная плоскость почти не удлиняется, можно решать практические задачи методом наложения. Следует иметь в виду, что граничные условия выполняются не полностью; так, например, угол поворота в заделке должен быть равен нулю, однако решение мембраны как абсолютно гибкой предполагает наличие угла поворота.
Согласно методу наложения, общее давление можно разложить на составляющие: давление, совершающее работу растяжения-сжатия и давление, совершающее работу по изгибу мембраны. Такой способ является приближенным, так как давление, в отличие от энергии, не обладает свойством аддитивности.
;
.
Рассмотрим числовой пример на метод наложения.
Пример:
Дано:
· - радиус мембраны;
· - толщина мембраны;
· - модуль Юнга материала мембраны;
· - коэффициент Пуассона;
· - прогиб в центре мембраны.
Необходимо определить давление на мембрану .
Решение:
Рассчитаем давление на мембрану:
;
;
.
Теперь подставим найденное давление в выражение для прогиба в центре мембраны, полученное по линейной теории:
.
На приведенном графике хорошо видно различие в поведении мембраны при больших давлениях по сравнению с линейным решением. Такое существенное отличие в подсчитанных значениях прогиба свидетельствует от целесообразности применения метода наложения, который хотя и не является точным, но дает адекватное решение задачи нахождения жесткости мембраны.
Для мембраны с абсолютно жестким центром радиуса расчет проводится аналогично для случаев нагружения давлением и сосредоточенной силой . Ниже приведены получаемые выражения для перемещения абсолютно жесткого центра:
;
,
где .
При получаем
.