Пример линейной программы

В качестве примера линейной программы рассмотрим вычисление производной от функции в заданной точке.

Производная от функции может быть вычислена численными методами. Известно, что

 

(9.4.1)

 

 

отсюда вытекает способ численного дифференцирования. Если заменить предел Dх его конечным значением h, то получим приближенные формулы для вычисления первой и второй производных:

 

(9.4.2)

 

 

(9.4.3)

 

Эти выражения представляют собой усеченные интерполяционные многочлены (многочлен Стирлинга). Одной из серьезных проблем в данном случае является выбор величины шага h. При уменьшении шага уменьшается ошибка усечения, но возрастает ошибка округления при вычислении производной. Поэтому стремятся выбрать оптимальную величину шага, при которой ошибка усечения и ошибка округления будут примерно равны. Для формулы (4.2) оптимальный шаг определяется из выражения

или , (9.4.4)

где h - шаг, D3y - конечная разность 3-го порядка, e - абсолютная погрешность вычисления функции, М3 - максимальное значение конечной разности 3-го порядка. Таким образом, ошибка усечения равна примерно половине ошибки округления. Полная погрешность не превзойдет при этом 0,5 e/h.

Пример 9.4.6. ЭВМ выводит результат с 8 знаками после запятой, при этом семь знаков точные. Требуется определить значение шага при вычислении производной первого порядка, чтобы ошибка усечения не превышала 0,0001.

Решение. Абсолютная погрешность вычисления функции равна 0,5*10-7.

из (9.4.4) получаем

.

При ε=0.001 и Δ=0.001 величина шага будет равна 0,5.

Для выражения (4.3) величина шага определяется из следующего соотношения

. (9.4.5)

В условиях примера 9.4.6 величина шага будет равна ~ 0,05.

Таким образом, для получения приемлемого значения результата не следует стремиться сильно уменьшать шаг приращения аргумента, а также следует учитывать точность, с которой вычисляются значения аргумента и функции. Напомним, абсолютная погрешность суммы не превышает суммы погрешностей слагаемых, абсолютная погрешность произведения (частного от деления двух чисел) не превышает наибольшей из абсолютных погрешности сомножителей.