Формула левых прямоугольников

Mетод прямоугольников.

Суть метода левых прямоугольников заключается в том, что подынтегральную функцию у=f(x) заменяют на каждом отрезке [x_i,x_i+1] прямой y=f(x_i ). Площадь i-ой элементарной трапеции S_i вычисляется как площадь прямоугольника со сторонами h=x_i+1-x_i и f(x_i).

,

Формула правых прямоугольников:

Суть метода правых прямоугольников заключается в том, что подынтегральную функцию у=f(x) заменяют на каждом отрезке [x_i,x_i+1] прямой y=f(x_i+1 ). Площадь i-ой элементарной трапеции S_i вычисляется как площадь прямоугольника со сторонами h=x_i+1-x_i и f(x_i+1).

Формула центральных прямоугольников.

Суть метода центральных прямоугольников заключается в том, что подынтегральную функцию у=f(x) заменяют на каждом отрезке [x_i,x_i+1] прямой y=f(x_i +h/2), т.е значением функции в середине i-го отрезка.

Формула центральных прямоугольников имеет наименьшую погрешность, по сравнению с формулами левых и правых прямоугольников.

Реализация в Excel:

Вычислить

Рассмотрим вычисление определенного интеграла с помощью метода прямоугольников.

– подинтегральная функция

a:= 1 – нижний предел интегрирования

b:=2.5 – верхний предел интегрирования

t:= 40 – количество точек разбиения отрезка интегрирования

– шаг интегрирования

Метод трапеций:

Геометрический смысл метода трапеций

Использование полинома первой степени (прямая линия, проведенная через две точки f(x_k), f(x_k+1)) приводит к формуле трапеций. Таким образом, криволинейная трапеция заменяется на обычную трапецию, площадь которой может быть найдена как произведение полусуммы оснований на высоту.

В случае N отрезков интегрирования для всех узлов, за исключением крайних точек отрезка, значение функции войдет в общую сумму дважды (так как соседние трапеции имеют одну общую сторону).