П.1. Понятие функции
ПЕРЕМЕННОЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ
Свойства верхней и нижней граней множества
1о. Если a* = sup X, то
1) выполняется неравенство .
2) такое, что выполняется неравенство .
2о. Если = inf X то
1) выполняется неравенство .
2) такое, что выполняется неравенство
Теорема 5.1.Всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань и при том только одну.
Дано.
Доказать.
Доказательство.
Замечание 5.1. Если множество Х неограниченно сверху (снизу), то будем считать sup X =+ (inf X =– ).
В заключение приведем
Аксиому Архимеда.Каким бы ни было действительное число k, всегда есть натуральное число n, которое больше k.
Из этой аксиомы следует, что множество натуральных чисел неограниченно.
Пример 5.2.Найти верхнюю и нижнюю грани множеств:
На практике мы часто встречаемся с зависимостями между разными величинами.
Изучение зависимости между объектами состоит в том, что между ними устанавливается соответствие.
Определение 6.1. Соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу х множества Х соответствует один и только один элемент у множества Y, называется функцией, заданной на множестве X со значением в множестве Y.
Функция обозначается при помощи латинской (а иногда греческой) буквы, например, буквы f.
Элемент х Î Х называется аргументом или независимой переменной функции f. Множество всех таких элементов х Î Х называют областью определения функции f и обозначают D(f) (D(f) ). А элемент y Î Y, соответствующий элементу х, называется значением функции f и обозначается f(х). Множество, состоящее из всех значений функции f, называют областью (множеством) значений функции f и обозначают Е(f)(Е(f)).
Заметим, что если у Î Е(f), то существует по крайней мере один такой х Î D(f), что f(х) = у.
Функцию f, заданную на множестве X со значениями в множестве Y, обозначают также следующим образом:
Определение 6.2. Две функции f и g называют равными (пишут f = g), если D(f) = D(g) и f(х) = g(х) для каждого х Î D(f).
Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств Х и Y, т.е. f Ì Х ´ Y, то говорят, что f есть отображение из Х в Y.
Если X = D(f) и Е(f) Ì Y, то говорят, что f есть отображение множества Х в Y.
Если X = D(f) и Y = Е(f), то говорят, что f есть отображение множества Х на Y.
Определение 6.3. Функция f , область определения и область значений которой состоят из некоторого множества действительных чисел, называется действительной функцией одной действительной переменной.
Ниже для краткости будем говорить «функция», подразумевая действительную функцию одной действительной переменной.
Функция считается заданной, если выполнены следующие два условия:
1) заданы два числовых множества Х и Y;
2) задан способ (правило), при помощи которого каждому числу х Î Х ставится в соответствие единственное число y Î Y.
П.2. Способы задания функции.
1. Аналитический, т. е. с помощью формулы. Если функция задана формулой и не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл. Иногда функция задается в области определения не одной формулой, а несколькими разными формулами. Пример 6.1.Функция
задана аналитическим способом на множестве действительных чисел при помощи трех разных формул.
Пример 6.2. Функция Дирихле
Пример 6.3. y=sgn x
2. Табличный способ.
3. Словесный (описывают словами закон, по которому находятся значения функции).
Пример 6.4. Функция f каждому квадрату со стороной а ставит в соответствие его площадь.S(a)=a2, a>0.
Пример 6.5. Каждому действительному числу х поставим в соответствие наибольшее целое число, которое не превосходит y. Эта функция – Антье, обозначается E(x)=[x], её график.
4. Графами.
5. Графический (только для числовых функций числового аргумента).
Определение 6.4. Графиком функции , заданной на множестве Х, называется множество всех точек плоскости с координатами , где х Î D(f).
Заметим, для того чтобы некоторое множество точек плоскости являлось графиком какой–либо функции, необходимо, чтобы это множество имело не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.
Рис. 10 Рис. 11