Метод хорд

Пусть дано уравнение

f(x) = 0, (11.4)

где функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, b] и выполняется соотношение f(a)·f(b) < 0.

Пусть для определенностиf(a) < 0, f(b) > 0. Тогда вместо того, чтобы делить отрезок [a, b] пополам, более естественно разделить его в отношении
- f(a):f(b). При этом новое значение корня определяется из соотношения

x₁ = a + h₁, (11.5)

где

. (11.6)

Далее этот прием применяем к одному из отрезков[a, x₁] или [x₁, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Аналогично находим второе приближение x₂ и т.д. (см. рис. 4.2.).

Геометрически этот способ эквивалентен замене кривойy = f(x) хордой, проходящей через точкиА(a, f(a)) и B(b, f(b)).

Рис. 4.2. Уточнение корня уравнения методом хорд

Действительно, уравнение хорды АВ имеет вид

(11.7)

Учитывая, что при х = х₁ => y = 0, получим

(11.8)

Полагая, что на отрезке [a, b] вторая производная f''(x)сохраняет постоянный знак, метод хорд сводится к двум различным вариантам:

1. Из рис. 11.2,a видно, что неподвижна точка а, а точкаb приближается к ξ, то есть

(11.9)

Преобразовав выражение (11.9), окончательно получим

(11.10)

2. Из рис. 11.2,bвидно,что точкаb остается неподвижной, а точкаа приближается к ξ, тогда вычислительная формула примет вид

(4.11)

Таким образом, для вычисления корня уравнения имеем две различные вычислительные формулы (4.10) и (4.11).

Какую точку брать за неподвижную?

Рекомендуется в качестве неподвижной выбирать ту точку, в которой выполняется соотношение

f(x)·f”(x) > 0. (11.12)