Метод Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения ДУ (рис. 9.1).
Рис. 9.1
Пусть дано уравнение (9.2) с начальным условием 
. Выбрав достаточно малый шаг h, построим, начиная с точки 
, систему равноотстоящих точек 
. Вместо искомой интегральной кривой на отрезке 
рассмотрим отрезок касательной к ней в точке 
, уравнение которой 
.
При 
из уравнения касательной получаем 
. Следовательно, приращение функции на первом шаге равно 
.
Проведя аналогично касательную к интегральной кривой в точке в точке 
, получим:
,
что при 
дает 
, т.е. 
получается из 
добавлением приращения 
.
Таким образом, вычисление таблицы значений функции, являющейся решением ДУ (2.8), состоит в последовательном применении пары формул:
, (9.24)
. (9.25)
Метод Эйлера, как, видно из рисунка, имеет погрешность. Определим локальную погрешность, присутствующую на каждом шаге, которая определяется разностью между точным значением функции и соответствующим значением касательной. Для первого шага:
(9.26)
Из (9.26) видно, что локальная погрешность пропорциональна 
. Суммарная погрешность 
после N шагов пропорциональна 
, поскольку 
, то 
, т.е. метод Эйлера - метод первого порядка точности по h.
Известны различные уточнения метода Эйлера. Модификации данных методов направлены на уточнение направления перехода из точки 
в точку 
Например, в методе Эйлера-Коши используют следующий порядок вычислений:
,
. (9.27)
Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке 
, а в качестве окончательного берется среднее значение этих направлений.
Пример 9.1. Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения
, 
,
методами Эйлера и методом Эйлера-Коши.
1. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера.
Для нахождения решения данного ДУ необходимо создать файл Euler.m, содержащий описание функции, возвращающей решение дифференциального уравнения методом Эйлера.
% листинг файла euler_g9.m
function [X,Y]=Euler_g9(y0,x0,x1,N)
dx=(x1-x0)/N;
x(1)=x0;
y(1)=y0;
for i=1:N
x(i+1)=x(1)+dx*i;
y(i+1)=y(i)+dx*F9(x(i));
end;
X=x;
Y=y;
function z=F9(x)
z=x.^2;
Далее необходимо выполнить следующую последовательность команд:
>> x0=0;% левая граница отрезка интегрирования
>> x1=5;% правая граница отрезка интегрирования
>> y0=1.3;% начальное условие
>> N=50;% число узлов разбиения отрезка интегрирования
>> [X Y]=Euler_g9(y0,x0,x1,N);% нахождение численного решения
% задачи Коши
>> i=1:length(X);
>> Z(i)=y0+1/3*X(i).^3;% вычисление значений точного решения
>> plot(X,Z,X,Y,':')% визуализация точного и численного решений
% (рис. 9.2)
>> plot(X,abs(Z-Y)) % визуализация разности между численным и
% точным решениями ДУ (рис. 9.3)
2. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера-Коши.
Для нахождения решения данного ДУ необходимо создать файл EulerKoshi, содержащий описание функции, возвращающей решение дифференциального уравнения методом Эйлера-Коши.
Рис. 9.2
Рис. 9.3
Рис. 9.4
% листинг файла EulerKoshi.m
function [X,Y]=EulerKoshi(y0,x0,x1,N)
dx=(x1-x0)/N;
x(1)=x0;
y(1)=y0;
for i=2:N
x(i)=x(1)+dx*(i-1);
Z=y(i-1)+dx*F9(x(i-1),y(i-1));
y(i)=y(i-1)+(F9(x(i-1),y(i-1))+F9(x(i),Z))*dx/2;
end;
X=x;
Y=y;
function z=F9(x,y)
z=x.^2;
Далее необходимо выполнить следующую последовательность команд:
>> x0=0;% левая граница отрезка интегрирования
>> x1=5;% правая граница отрезка интегрирования
>> y0=1.3;% начальное условие
>> N=50;% число узлов разбиения отрезка интегрирования
>> [X Y]=EulerKoshi(y0,x0,x1,N);% нахождение численного
% решения задачи Коши
>> i=1:length(X);
>> Z(i)=y0+1/3*X(i).^3;% вычисление значений точного решения
>> plot(X,Z,X,Y,':')% визуализация точного и численного решений
% (рис. 9.4)
>> plot(X,abs(Z-Y)) % визуализация разности между численным и
% точным решениями ДУ (9.5)
Рис. 9.5
Из сравнения рис. 9.3, 9.5 видно, что погрешность, как и ожидалось уменьшилась в 102 раз (h = 0.1).