Развертки многогранников.
Многогранники. Сечение многогранников плоскостью.
10.1 Сечение многогранников плоскостью
Многогранник есть геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями), пересекающимися по прямым линиям (рёбрам). Фигура сечения многогранника есть плоский многоугольник, сторонами которого являются прямые пересечения заданной плоскости с плоскостями граней, а вершинами - точки пересечения рёбер многогранника с заданной плоскостью.
Построение фигуры сечения многогранника плоскостью может выполняться двумя способами:
- путем определения линии пересечения заданной плоскости с каждой из плоскостей (граней), ограничивающих геометрическое тело многогранника (эти линии — стороны фигуры сечения);
- путем нахождения точек пересечения всех ребер с заданной плоскостью (эти точки — вершины фигуры сечения).
Первый способ называется способом граней, второй — способом ребер. Выбор способа построения фигуры сечения зависит от положения секущей плоскости, рёбер и граней многогранника относительно плоскостей проекций.
10.1.1 Способ граней
Суть способа сводится к последовательному определению линий пересечения двух плоскостей, одна из которых является заданной, а другая - какой-либо гранью многогранника (см. раздел 6). Для построения же самой фигуры сечения определяют точки пресечения найденных прямых, которые являются вершинами многоугольника сечения.
10.1.2 Способ ребер
Этот способ заключается в определении точек встречи прямых (ребер) с заданной плоскостью (см. раздел 7). Установив последовательно для всех ребер точки встречи их с секущей плоскостью, соединяют эти точки отрезками прямых и получают многоугольник сечения.
10.2 Развертки многогранников
В инженерном деле многогранники чаще всего реализуются как оболочка заданных форм и размеров. Для их изготовления необходимо уметь выполнить развертку (выкройку) такой оболочки.
Развёртка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную последовательным совмещением всех граней многогранника с плоскостью чертежа таким образом, чтобы грани примыкали друг к другу по линиям сгиба (рёбрам).
Для построения развёртки многогранника необходимо иметь натуральные величины всех его граней, поэтому задача построения развертки многогранника решается в два этапа:
1 этап - определяют натуральную величину каждой грани (см. раздел 9);
2 этап - путем вращения вокруг соответствующей линии (ребра) (см. раздел 9) совмещают грани с плоскостью чертежа.
10.3 Вопросы для самопроверки
1Чем задаётся призматическая поверхность?
2 Какие признаки позволяют установить, что на данном чертеже изображена призма?
3 Чем задаётся поверхность пирамиды?
4Какая фигура образуется в результате сечения призмы плоскостью, параллельной её боковым рёбрам?
5 Какая фигура образуется в результате сечения пирамиды плоскостью, проходящей через её вершину?
6 В чём заключается решение задач по определению сечения поверхности плоскостью с помощью способа граней и способа рёбер?
7 Что называется развёрткой поверхности?
8 Способы построения развёрток многогранников, содержание каждого из них.
9 В каких случаях для построения развёртки используются способы: нормального сечения, раскатки, треугольников?
10.4 Примеры решения задач
10.4.1 Задание:определить сечение трёхгранной призмы (рисунок 10.1) плоскостью P(P1P2). Построить полную развёртку поверхности призмы и нанести на ней линию сечения.
Рисунок 10.1
Решение:секущая плоскость Р является фронтально проецирующей и пересекает все рёбра прямой призмы АА', ВВ', СС'.Для решения задачи используют свойство проецирующей плоскости, следуя которому фронтальная проекция 122232 фигуры сечения 1, 2, 3 совпадает с фронтальным следом Р2плоскости Р (рисунок 10.2).
Рёбра призмы АА', ВВ', СС'являются горизонтально проецирующими прямыми и на плоскость П1проецируются в точки А1 В1 С1 поэтому горизонтальная проекция Ii2i3i фигуры сечения 123 совпадает с горизонтальной проекцией призмы, т.е.
.
Рисунок 10.2
В рассматриваемом примере основание призмы проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 в натуральную величину, рёбра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций П2. Из этого следует, что фронтальные проекции рёбер А2А'2, В2В'2, С2С'2 являются натуральными величинами.
Для построения развёртки призмы совмещают ее боковые грани с фронтальной плоскостью проекций П2. На совмещенных положениях граней А0А'0, В2В'2, С2С'2 развертки призмы отмечают точки 10, 20, 30 и последовательно соединяют их отрезками прямых линий. Верхнее А'В'С' и нижнее ABC основания и натуральную величину фигуры сечения 102030 пристраивают к развёртке, как треугольники по трём известным сторонам.