Def.32 Морфизм М есть обобщение понятия бинарного соответствия между множествами на составляемые алгебраические системы.

Булева алгебра.

Def 31. Совокупность подмножеств X, Y, Z, … некоторое множество М, имеющее наименьшее подмножество (нулевой элемент) О и наибольшее подмножество (наибольший элемент) 1, с тремя алгебраическими операциями f₁² (аддитивная операция ), и f₂² (мультипликативная операция) удовлетворяющие аксиомам:

-коммутативности (для f₁²и f₂²)

-ассоциативности (для f₁²и f₂²)

-дистрибутивности (для f₁²относительно f₂²и f₂² относительно f₁²)

-поглощения (для f₁²относительно f₂² и f₂² относительно f₁²)

-комплементарности (f₁²относительно f₂², f¹ и f₂²относительно f₂², f¹)

называемая булевой алгеброй < М,f₁², f₂², f¹^>.

Замечание.

1) Интерпретируя в < М,f₁², f₂², f¹^>операции как объединение, пересечение, дополнение, а элементы основного множества М – как его подмножества, получаем алгебру множеств < R ( M ) ,Ç ,È ,- > .

2)В математической логике элементы булевой алгебры интерпретируются как высказывания, а операции – соответственно как дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Морфизмы алгебраических систем.

М = < A 1,A 2,m >

При этом сопоставляться могут только совместимые (т. е. однотипные по операциям и отношениям) системы, в которых мощности их основных множеств могут быть различными.

Классификация морфизмов.

Пояснения:

Гомоморфизм - отображение, сохраняющее базовые операции на сопоставляемых множествах.

Def 33. Гомоморфизмом алгебраической системы< M1,O1,R1> в однотипную ей систему< M2,O2,R2> называется отображение Г: А1® А2, удовлетворяющее условиям:

1.Г(f_iⁿ^<a1,а2,а3,…,а_ni_> )= f_iⁿ(Г(а1),Г(а2),…,Г(а_ni))

2. < a1,а2,а3,…,а_n_> _Î r_j_Þ ((а1),Г(а2),…,Г(а_m))Î r_j¹

здесь a1,а2,а3,…,а_ni_Î М1; Г(а1),Г(а2),…,Г(а_ni) Î М2;

f_iⁿ^ÎO1 , f_iⁿ^ÎO2; r_j_Î R1; r_j¹^ÎR2.

Пример: Гомоморфизм группы d 1 в группу d 2 есть такое отображение Г_f, при котором каждому элементу аÎ d 1 поставлен в соответствие определенный элемент Г_f (а) Î d 2.При этом произведению двух элементов из d 1 соответствует произведение их образов, т.е. Г_f( а_i* а_j)= Г_f( а_i)* . Г_f( а_j)

Пример: Гомоморфизмом является сопоставление двух алгебр< Д,*> , < Д,+> путем логарифмирования элементов первой алгебры, т. е.

М = < < Д,*> , < Д,+> ,lg> . В этом случае операция умножения преобразовывается в первой системе отображается в операцию суммирования образов, в операцию во второй (напомним что это две однотипные алгебры их тип 2).

Поскольку гомоморфизм есть отображение, то он может быть сюръекцией, инъекцией, биекцией и в качестве таковых называется соответственно эпиморфизмом, мономорфизмом и изоморфизмом. При этом, если А1=А2, то гомоморфизм есть эндоморфизм и изоморфизм алгебраической системы самой себе в таком случае называется автоморфизмом (автоморфизм является тождественным отображением, называется триепарным)

Пояснения.:

1)термин "гомоморфизм " (надобная структура ) есть экспликация интуитивно ясных понятий "подобие" и "сходство" структур сопоставляемых систем.

2)любая область человеческих знаний исследует свои объекты как гомоморфные или алгебраические системы.

3)рассматривая алгебраическую операцию как частный случай отношения, можно дать графическую интерпретацию гомоморфизма в виде отображения реляционной системы в подобную ей.

4)очевидно, что изоморфизм (взаимно однозначный гомоморфизм) алгебраических систем означает, что как первая система (оригинал) может служить моделью второй, так и вторая система может быть моделью первой.

Именно в этом плане понятие "трансляция данных" в ВТ есть изоморфизм исходной системы данных в другую (рабочую) систему данных с аналогичными отношениями.

5)реальный (исследуемый) объект имеет мн-во гомоморфных ему моделей (которые, в свою очередь, могут быть гомоморфными системами между собой).

6)примерами интерпретаций гомоморфизмов алгебраических систем могут быть объекты различной природы:

-человек и его фотография;

-объект и понятие о нем;

-стихотворение на языке авторов и перевод стиха на другом языке;

-местность и его карта;

-изделие и его чертеж;

-речь и ее запись на магнитной ленте;

-движение планет и система дифференциальных уравнений, описывающих движение планет.

7)для алгебр изоморфизм- это гомоморфизм, являющаяся биекцией. В графической интерпретации морфизма алгебр широко пользуются коммутацией диаграмм:

Смысл приведенной диаграмм следующий:

-если существует гомоморфизм между А1= < М1,f_iⁿ > и А2= < М2,f_iⁿ > , что образ < Гf(М1),f_iⁿ^>гомоморфизма ведет себя подобно прообразу < М1,f_iⁿ > , т. е. Можно выполнить операцию f_iⁿнаМ1 отобразить результат в А2 посредством Гf, или сначала отобразить элементы множества М1 в элементы множества М2, а затем выполнить операцию f_jⁿ. В обоих случаях результат будет один и тот же.