Метод последовательного деления на основание
Метод непосредственного замещения
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Использование в ЭВМ двоичной системы счисления связано с преодолением дополнительных трудностей, вызванных необходимостью перевода вводимых в ЭВМ чисел в двоичную систему счисления и обратного перевода числовых данных при выводе информации из ЭВМ. Эти преобразования информации в ЭВМ осуществляются автоматически с использованием специально разработанных методов.
Пусть задано число А(q) в q–ичной системе счисления. Требуется найти запись этого числа в р-ичной системе счисления, т.е. В(р).
Перевод чисел этим методом выполняется следующим образом:
- заданное число А(q) представляется в виде (3.1):
A(q)=an-1´qn-1+…+a0´q0+a –1´q-1+…+a-m´q-m ;
- все цифры ai и основание q в правой части записываются (замещаются) в системе счисления с новым основанием p и выполняются необходимые операции. При этом, если р>q, то изображение цифр в p-ичной системе совпадает с изображением чисел в q-ичной системе. Если же p<q, то необходимо знать представление чисел от p до q в системе счисления с основанием р.
Пример 3.8. Перевести число 357 (8) в десятичную систему счисления.
Решение. 357(8)=3´82+5´81+7´80=192+40+7=239(10).
Пример 3.9. Перевести число 13,5(10) в двоичную систему счисления.
Решение. 13,5(10)=1´101+3´100+5´10-1=1´1010+11+101/1010=1101,1(2) .
Этот метод используется для перевода только целых чисел.
Пусть число A(q) требуется записать в р-ичной системе. Допустим, что такое представление получено и новое число В(р) имеет вид:
A(q) = B(p) = bn-1 bn-2 … b1 b0 (p) = bn-1´pn-1 + bn-2´pn-2 + … + b1 p1 + b0.
Разделим число A(q) на р. Так как b0<p, то в результате деления получим целую часть:
A1 = bn-1´pn-2 + bn-2´pn-3 + … + b1
и остаток b0. Отсюда следует, что остаток от деления заданного числа на основаниe р равен значению цифры младшего разряда р-ичного числа. При этом, если p<q, то остаток является цифрой р-ичной системы счисления, а при p>q остаток представляет собой число в q-ичной системе счисления, которое соответствует цифре р-ичной системы (заметим, что деление должно выполняться в q-ичной системе счисления, т.е. в системе, в которой задано исходное число).
Чтобы найти цифру b1 следует отбросить остаток b0, a А1 вновь разделить на р. Получим целую часть
А2 = bn-1´pn-3 + … b3´p + b2
и остаток b1, который равен значению цифры очередного разряда. Последовательное деление продолжается до тех пор, пока не получится частное, меньшее р. Это частное является цифрой старшего разряда искомого р-ичного числа.
Правило перевода. Чтобы перевести целое число из одной системы счисления в другую, необходимо последовательно делить это число и промежуточные частные на основание новой системы счисления, представленное в старой системе. Полученные остатки и последнее частное дадут искомое изображение р-ичного числа, причем первый остаток записывается в младший разряд, а последнее частное – в старший разряд числа.
Пример 3.10. Перевести десятичное число 38 в двоичную систему счисления.
Решение:
Ответ: B(2)=b5 b4 b3 b2 b1 b0(2)=100110(2) .
Пример 3.11. Провести обратный перевод числа B(2)=100110(2) в десятичную систему счисления.
Решение: Сначала новое основание системы счисления представим в двоичной системе: 10(10)=1010(2). Далее делим число 100110(2) на основание 1010(2).
100110
1010
10010
1010
Ответ: 100110(2)=b1b0 (10) = 38(10).