Характеристики случайных процессов

Развитие методов измерения статистических характеристик случайных сигналов требует:

1. анализа и развития методов описания случайных сигналов и их свойств;

2. разработки и исследования возможных алгоритмов измерения значений статистических характеристик, принятых для описания свойств случайных сигналов;

3. разработки методов оценки качества измерения.

В реальности отсутствует возможность практического получения ансамбля случайного процесса.

Поэтому для описания случайных сигналов используются универсальные статические (вероятностные) характеристики.

К ним относят: функцию распределения вероятности, плотность распределения вероятности (закон распределения), характеристическую функцию, моментную функцию, корреляционную функцию, спектральную плотность.

Числовые характеристики закона распределения вероятности (моменты)

Числовые характеристики закона распределения вероятности или моменты представляют собой некоторые средние значения. Если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения- центральными.

Общее правило образования начальных моментов:

,

где r- номер момента;

p(x)- плотность распределения.

Важнейшим начальным моментом является первый- среднее значение:

.

Среднее значение случайного процесса характеризует математическое ожидание отсчета при бесконечном повторении процедуры измерения.

Мерой рассеивания отдельных результатов измерения случайного процесса (сигнала) около их среднего значения является второй центральный момент. Центральные моменты определяются из следующего правила:

.

Свойства дисперсии:

1. дисперсия неслучайного числа равна нулю: D(a)=0;

2. постоянный множитель выносится за знак дисперсии и возводится в квадрат: D[ax]=a²D[x]; a=const;

3. дисперсия алгебраической суммы двух случайных чисел определяется так: , где k- коэффициент корреляции:

;

4. дисперсия алгебраической суммы независимых случайных чисел равна арифметической сумме их дисперсий: ;

5. дисперсия случайного числа равна разности между математическим ожиданием его квадрата и квадратом математического ожидания: .

В теории измерений и метрологии чаще используется среднее квадратическое отклонение случайной величины, процесса, сигнала:

.

Третий центральный момент:

.

Этот момент характеризует несимметричность распределения вероятности. Существует специальное выражение для оценки асимметрии:

.

Асимметрия может быть положительной и отрицательной. Для симметричных распределений вероятности асимметрия равна нулю (рис. 14).

Рис.14. Виды асимметрии

Четвертый центральный момент дает информацию о заостренности дифференциальной функции распределения вероятности. Мерой заостренности служит эксцесс (рис. 15):

Рис. 15. Примеры кривых плотностей вероятности при различных значениях эксцесса

Эксцесс равен трем для закона распределения вероятности, кривая плотности вероятности которого имеет колоколообразную форму. Кривые с более острой вершиной имеют больший эксцесс, с более пологой- меньший, вплоть до отрицательного.

Мерой неопределенности случайного числа является энтропия:

.

Так как р(х)<1, то энтропия всегда положительна. Она равна нулю у неслучайного числа и максимальна при равномерной плотности распределения вероятности.

Все отмеченные моменты являются неслучайными числами, характеризующими случайные величины, процессы и сигналы.