Метод неопределенных множителей Лагранжа
Для решения оптимизационных задач по методу Лагранжа параметры режима сети должны быть разделены на независимые переменные Yи зависимые переменные X,гдеY иX –векторы переменных.
Пусть общее количество параметров режима равно m, а число независимых параметров n.
Тогда число компонент вектора Х будет равно m-n.
При решении этим методом целевая функция оптимизации выражается как функция независимых переменных: Z = F(Y).
Кроме этого должны быть составлены ограничения в виде равенств, связывающих между собой независимые и зависимые переменные. Количество ограничений должно быть равно числу зависимых переменных.
Например, если общее количество параметров равно 5, из которых лишь 2 являются независимыми, то число ограничений должно быть равно трем:
w1(X,Y) = 0;
w2(X,Y) = 0;
w3(X,Y) = 0.
На следующем этапе находится функция Лагранжа, которая включает в себя и
целевую функцию и уравнения связи:
L = F(Y) + l1 × w1(X,Y) + l2 × w2(X,Y) + l3 × w3(X,Y),
где l1, l2 , l3 - неопределенные множители Лагранжа.
Далее необходимо найти частные производные, число которых должно быть равно общему числу параметров:
¶L / ¶y1; ¶L / ¶y2; ¶L / ¶l1; ¶L / ¶l2; ¶L / ¶l3.
Приравнивая каждую из полученных частных производных нулю, получают систему уравнений, метод решения которых зависит от конкретного содержания задачи.
Пример 7. Найти экстремум функции Z = x1×x2 + x2×x3 при ограничениях
x1 + x2 = 2,
x2 + x3 = 2.
Р е ш е н и е.
Составляем функцию Лагранжа:
L = x1×x2 + x2×x3 + l1(x1 + x2 - 2) + l2(x2 + x3 - 2).
Дифференцируем её по переменным x1, x2, x3, l1, l2 и полученные выражения приравниваем нулю:
l1 + x2 = 0,
x1 + x3 + l1 + l2 = 0,
x2 + l2 = 0,
x1 + x2 - 2 = 0,
x2 + x3 - 2.
Из первого и третьего уравнений следует, что l1 = l2 = -x2.
Поэтому
x1 – 2x2 + x3 = 0,
x1 + x2 = 2,
x2 + x3 = 3,
откуда x1 = x2 = x3 =1. Экстремум целевой функции Zextr.= 2.
Поскольку, например, точка (0; 2; 0) принадлежит допустимой области и в
ней Z = 0, то делаем вывод, что точка (1; 1; 1) – точка глобального максимума.