Методом наименьших квадратов

Определение параметров объекта управления

Этот метод предполагает, что используются массивы значений входных и выходных сигналов объекта, снятых через некоторый интервал времени - период квантования. Во входном сигнале объекта должна присутствовать как постоянная, так и пробная составляющие. Постоянная составляющая определяет положение рабочей точки процесса, в окрестности которой и производит определение параметров динамической модели объекта. Учитывая, что используются дискретные значения входа и выход, необходимо работать с цифровыми (дискретными) моделями объекта.

Рассмотрим методику применение метода наименьших квадратов на примере цифровой модели первого порядка, заданной в виде:

(1.9)

Структурная схема эксперимента с использованием модели объекта показана на рис. 1.7. Здесь ОУ - объект управления, М - модель объекта, - входной и выходной сигналы, текущая ошибка идентификации, выходной сигнал модели и вектор оценки параметров.

Рис. 1.7. Структурная схема эксперимента

Пусть накоплено N+1 точек измерения входного и выходного сигналов объекта. В методе наименьших квадратов обобщенная ошибка идентификации должна быть минимальна:

(1.10)

Для упрощения записи опустим в дальнейших выкладках пределы суммирования. Раскроем выражение (1.10) в виде

, (1.11)

где

(1.12)

После соответствующих преобразований формулы (1.11), раскрытия скобок и приведения подобных получим

, (1.13)

где

(1.14)

При минимизации E необходимо определить частные производные по параметрам и :

(1.15)

(1.16)

, (1.17)

где (1.18)

Откуда следует формула для вычисления оценок вектора параметров объекта управления по методу наименьших квадратов

(1.19)

Обратная матрица A^-1 всегда существует, так как исходная матрица A симметричная и положительно определенная, что следует из формул (1.14).

Зная параметры дискретной модели можно определить параметры передаточной функции объекта

(1.20)

Известно, что связь между параметрами дискретной модели (1.9) и передаточной функции (1.20) определяется формулами / 10 /

. (1.21)

Откуда следует, что

. (1.22)

При использовании МНК, получаемые оценки вычисляются с некоторыми ошибками, которые называются смещением оценок. Для получения достаточно представительных результатов необходимо выполнить ряд условий:

1) Подавать на вход объекта управления какой-либо пробный тестирующий сигнал, достаточно богатый в спектральном отношении (например ПСДС). Такой сигнал эквивалентен подаче на объект большого множества различных гармонических составляющих, что позволяет оценить достаточно большую полосу частот АФХ объекта.

2) Объем исследуемой выборки (N) должен быть достаточным для получения представительных оценок, причем, чем меньше уровень пробного ПСДС, больше должно быть число N. Существует рекуррентный метод наименьших квадратов (РМНК), который позволяет в темпе с процессом (в реальном времени) получать текущие оценки параметров объекта и по их сходимости определить величину N и момент окончания эксперимента.

3) С увеличением уровня шумов на выходе объекта точность оценок снижается. Смещение оценок возникает и при охвате исследуемого объекта обратной связью через регулятор, т.к. в этом случае возникает корреляционная связь между входом и выходом объекта, которая и приводит к смещению оценок.

Учет запаздывания в объекте управления приводит к появлению задержки в управляющем сигнале на М периодов квантования

(1.23)

где .

В связи с этим, наряду с оценкой параметров и необходимо определить и величину задержки . Это можно сделать путем нахождения глобального минимума обобщенной ошибки идентификации для различных величин задержки при использовании одного и того же массива данных.