Свойства параллельного проектирования
Лекция 56. Изображение пространственных фигур
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ
План:
1. Свойства параллельного проектирования.
2. Многогранники и их изображения. Правильные многогранники. Изображение призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара на плоскости. Изображение пространственных фигур на плоскости. Теорема Эйлера о многогранниках. Теорема Евклида о числе правильных многогранников.
3. Шар, цилиндр, конус и их изображение.
При изучении элементов геометрии в начальной школе учащиеся часто знакомятся с пространственными фигурами: кубом, прямоугольным параллелепипедом, пирамидой, шаром, цилиндром, конусом. Эти фигуры являются важнейшими объектами геометрии в пространстве, называемой стереометрией. Чтобы облегчить изучение их свойств, пространственные тела изображают на плоскости, используя при этом правила параллельного проектирования. Поскольку ознакомление младших школьников с пространственными фигурами также связано с их изображением на плоскости, то учителю начальных классов надо знать эти правила и уметь правильно изображать на листе бумаги (на доске) куб, шар, пирамиду и другие геометрические тела.
Пусть даны плоскость α и пересекающая ее прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку X, не принадлежащую прямой а и проведем через Х прямую а', параллельную прямой а (рис.). Прямая а' пересекает плоскость в некоторой точке X'', которая называетсяпараллельной проекцией точки Х на плоскость а.
Если точка Х лежит на прямой а, то ее параллельной проекцией X' является точка, в которой прямая а пересекает плоскость α.
Если точка Х принадлежит плоскости а, то точка X' совпадает с точкой X.
Таким образом, если заданы плоскость α и пересекающая ее прямая а, то каждой точке Х пространства можно поставить в соответствие единственную точку X' - параллельную проекцию точки Х на плоскость α (при проектировании параллельно прямой а). Плоскость α называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она задает направление проектирования - при замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задают одно и то же направление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.
Проекцией фигуры F называется множество F проекцией всех ее точек. Отображение, сопоставляющее каждой точке Х фигуры F ее параллельную проекцию - точку X' фигуры F, называется параллельным проектированием фигуры F (рис.).
Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность, при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.
Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, опустив их доказательство.
Теорема.При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:
1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок.
2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.
Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.
При изображении геометрических тел на плоскости необходимо следить за тем, чтобы указанные свойства выполнялись. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непараллельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается произвольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то на проекции его медиана должна соединять вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
И еще одно требование необходимо соблюдать при изображении пространственных тел на плоскости - это способствовать созданию верного представления о них.