Упражнения
7238
Алгоритм сложения
Упражнения
1. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:
а) 4725; 6)3370; в) 10255.
2. Какие числа представлены следующими суммами:
а) 6∙103 + 5∙10 + 8; б) 7∙103 + 1 ∙ 10;
в)8∙104+ 103+3∙10 + 1; г) 105 + 102?
3. Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в которых все цифры различны.
4. Решите арифметическим методом задачи из начального курса математики:
а) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.
б) Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу. Цифра десятков обозначает число в 4 раза меньшее, чем цифра единиц. Какое это двузначное число?
Какие некорректности допущены в формулировках данных задач? Следует ли их исправлять?
5. Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше предыдущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?
6. Младшим школьникам предложена задача: «Запиши 5 четырехзначных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще всевозможных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 5, 0 и 6 гак, чтобы одна и та же цифра не повторялась в записи числа?
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например,
+ 341
Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.
Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:
341 + 7238 = (3∙102 + 4∙10 + 1) + (7∙103 + 2∙102 + 3∙10 + 8). Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3∙102 + 4∙10 + 1 + 7∙103 + 2∙102 + 3∙10 + 8.
На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7∙103 + 3∙102 + 2∙102 + 4∙10 + 3∙10 + 1+8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7∙103 + (3∙102 + 2∙102 ) + (4∙10 + 3∙10) + (1 + 8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7∙103 + 5∙102 + 7∙10 + 9.
Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.
Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:
- способ записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;
- дистрибутивность умножения относительно сложения;
- таблица сложения однозначных чисел.
Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.
Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7∙102 + 4∙10 + 8) + (4∙102 + 3∙10 + 6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7 + 4) ∙102 + (4 + 3) ∙10 + (8 + 6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7 + 4, 8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 1∙10 + 4:
Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем .Полученное выражение к виду: (7 + 4) ∙102 + (4 + 3 + 1) ∙10 + 4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при 1 сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7 + 4 в виде 1∙10+ 1, получаем: (1 ∙ 10 + 1)102 + 8∙10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно. 748+436= 1184.
Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа:
х = an ·10n + a n-1 ·10n-1 + ... +а1·10 + а0,
у = bn ·10n + b n-1 ·10n-1 + ... +b1·10 + b0,
х + у =(an + bn ) ·10n + ( a n-1 + b n-1 ) ·10n-1 + ... + ( а1+b1 ) ·10 + ( а0 + b0)
- преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности
сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения.
Лишь в случае, когда все суммы aк + bк не превосходят 9, операцию сложения можно
считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее к, для которого ак + bк > 10. Если ак + bк > 10, то из того, что 0 <ак < 9 и 0 < bк < 9, следует неравенство 0 < ак + bк < 18 и поэтому ак + bк можно представить и виде ак + bк = 10 + ск, где 0 < ск < 9. Но тогда (ак + bк) ·10к = (10 + ск) ·10 к = 10 к +1 + ск ·10 и т.д.
В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.
В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных и десятичной системе счисления, формулируют так:
1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разпряду (десятков).
3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде ао + Ьо~ 1 • 10 + с0, где с0 - однозначное число; записывают с() в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.
4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.
Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».
1. На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.
2. При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в начальной школе последовательно рассматриваются такие случаи сложения:
231 + 342; 425 + 135; 237 + 526; 529 + 299. Каковы особенности каждого из этих случаев?
3. Вычислите устно значение выражение; использованный прием обоснуйте:
а) 2746 + 7254 + 9876; б) 7238 + 8978 + 2768;
в) (4729 + 8473) + 5271; г) 4232 + 7419 + 5768 + 2591;
д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643).
4. Какие рассуждения школьников вы будете считать правильными при выполнении задания.
а) Можно ли утверждать, что значения сумм в каждом столбике одинаковы:
2459+ 121 53075 + 2306
2458+ 122 53076 + 2305
2457+123 53006 + 2375
2456+ 124 53306 + 2075
б) Можно ли записать значения этих сумм в порядке возрастания:
4583 + 321 4593 + 311 4573 + 331