Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа

Производные и дифференциалы высших порядков

Логарифмическая производная

Производные простейших элементарных функций

Используя определение 4 производной, а также теоремы 6 и 7, можно доказать следующие равенства.

Теорема 8.В области определения соответствующих функций имеют место формулы:

Таблица производных

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Докажем, например, формулу используя теорему 6 о производной

обратной функции. Функция является обратной по отношению к функции причем поэтому по теореме 6 имеем

Лекция 3. Логарифмическая производная. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Формулы Маклорена-Тейлора для простеших элементарных функций. Правило Лопиталя. Применение формулы Тейлора.

При дифференцировании показательно-степенной функции обычно используют логарифмическую производную Делается это так:

Например,

Производная есть сама функция от поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции и обозначается И вообще:

если известна производная ( порядка), то производная го порядка определяется так: При этом функция называется раз дифференцируемой в точке

Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно:

если известен дифференциал порядка то дифференциал го порядка определяется так: при этом дифференциал независимой переменной и все его степени считаются постоянными дифференцирования.

Имеем И вообще, справедливо утверждение: если функция дифференцируема раз в точке то

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. В области определения выписанных ниже функций справедливы равенства:

Производные порядка являются линейными операциями, т.е.

Производная порядка для произведения вычисляется довольно сложно.

Формула Лейбница. Если функции дифференцируемы раз в точке то имеет место равенство

Здесь: число сочетаний из элементов по нулевая производная функции совпадает с ней самой: Легко видеть, что формула (1) напоминает формулу бинома Ньютона; только в ней вместо произведения степеней стоит произведение производных Учитывая это, легко записать, например, третью производную от произведения:

При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы Однако этих формул не достаточно для вычисления предела

Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений, введем следующее понятие.

Определение 5.Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности

точки Говорят, что функция имеет в точке асимптотическое разложение го порядка, если существуют числа такие, что в некоторой в некоторой проколотой окрестности представляется в виде

Здесь

Равенство (3) означает, что функция аппроксимируется (приближенно равна) в некоторой малой окрестности точки многочленом. В каком случае функция имеет асимптотическое разложение порядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.

Теорема 2.Пусть функция имеет в точке производные до го порядка включительно. Тогда имеет в точке асимптотическое разложение порядка вида

( формулу (4) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора).

Если в (4) положить то получим формулу называемую формулой Маклорена-Тейлора. Приведем формулы Маклорена-Тейлора для основных элементарных функций.

Теорема 3.Имеют место следующие разложения:

Таблица 3

Доказательствоэтих формул базируется на подсчёте производной го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу (2) .