Теорема умножения вероятностей

Следует обратить внимание на понятия зависимого и независимого случайного события.

Независимыми событиями А и В будем называть события, для которых появление одного из них не зависит от того, наступило или не наступило другое событие.

В этом случае вероятность произведения событий А и B подсчитывается по формуле:

P(AB)= Р(A × B)= P(A) × P(B).

Для нескольких независимых событий

.

Если появление события В зависит от осуществления события А, то такие события называются зависимыми. В этом случае вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события А при наличии события В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло.

Эта вероятность обозначается Р(А/B).

Тогда вероятность сложного события, заключающегося в осуществлении и события А, и события В, определится как

P(AB)=Р(A × B)=P(А 3 В) = P(A)× P(B/A), или

P(AB)= P(B)× P(A/B),

т.е. как произведение вероятности события А на условную вероятность события В и наоборот.

Пример.

В урне находится "а" белых и "b" черных шаров. Некто подходит и вынимает из урны наугад по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что вторым по счету будет белый шар.

Шары из урны могут быть изъяты в следующей последовательности: (чч+бч+бб+чб).

Нас интересует вероятность двух последних событий, когда вторым по счету будет белый шар, т.е.

P(бб+чб).

Для случая нескольких событий

P(A₁A₂ ... A_n)=Р(A₁)× P(A₂/A₁)× P(A₃/A₁A₂) ... P(A_n/A₁A₂ ... A_n).