Пример 9.1

Рассмотрим функцию

(9.1)

и допустим, что х принимает целые значения из интервала от 0 до 15. Задача оптимизации этой функции заключается в перемещении по пространству, состоящему из 16 точек со значениями 0, 1.....15 для обнаружения той точки, в которой функция принимает максимальное (или минимальное) значение.

В этом случае в качестве параметра задачи выступает переменная х. Множество {0, 1, ..., 15} составляет пространство поиска и одновременно – множество потенциальных решений задачи. Каждое из 16 чисел, принадлежащих к этому множеству, называется точкой пространства поиска, решением, значением параметра, фенотипом. Следует отметить, что решение, оптимизирующее функцию, называется наилучшим или оптимальным решением. Значения параметра х от 0 до 15 можно закодировать следующим образом:

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Это широко известный способ двоичного кодирования, связанный с записью десятичных цифр в двоичной системе. Представленные кодовые последовательности также называются цепями или хромосомами. В рассматриваемом примере они выступают и в роли генотипов. Каждая из хромосом состоит из 4 генов (иначе можно сказать, что двоичные последовательности состоят из 4 битов). Значение гена в конкретной позиции называется аллелью, принимающей в данном случае значения 0 или 1. Популяция состоит из особей, выбираемых среди этих 16 хромосом. Примером популяции с численностью, равной 6, может быть, например, множество хромосом {0010, 0101, 0111, 1001, 1100, 1110}, представляющих собой закодированную форму следующих фенотипов: {2, 5, 7, 9, 12, 14}. Функция приспособленности в этом примере задается выражением (6.l). Приспособленность отдельных хромосом в популяции определяется значением этой функции для значений х, соответствующих этим хромосомам, т.е. для фенотипов, соответствующих определенным генотипам.

При разработке генетических алгоритмов преследуются две главные цели:

• абстрактное и формальное объяснение процессов адапта­ции в естественных системах;

• проектирование искусственных программных систем, вос­производящих механизмы функционирования естественных систем.

Основные отличия ГА от других алгоритмов оптимизации:

• используются не параметры, а закодированныя множества параметров;

• поиск осуществляется не из единственной точки, а из попу­ляции точек;

• в процессе поиска используются значения целевой функ­ции, а не ее приращения;

• применяются вероятностные, а не детерминированные пра­вила поиска и генерации решений;

• выполняется одновременный анализ различных областей пространства решений, в связи с чем возможно нахождение но­вых областей с лучшими значениями целевой функции за счет
объединения квазиоптимальных решений из разных популяций.

 

Классический генетический алгоритм

 

Основной (классический) генетический алгоритм (также назы­ваемый элементарным или простым генетическим алгоритмом) со­стоит из следующих шагов:

1) инициализация, или выбор исходной популяции хромосом;

2) оценка приспособленности хромосом в популяции;

3) проверка условия остановки алгоритма;

4) селекция хромосом;

5) применение генетических операторов;

6) формирование новой популяции;

7) выбор «наилучшей» хромосомы.

Блок-схема основного генетического алгоритма изображена на рис.9.1. Рассмотрим конкретные этапы этого алгоритма более по­дробно.

Инициализация,т.е. формирование исходной популяции, заключается в случайном выборе заданного количества хромосом (особей), представляемых двоичными последовательностями фиксированной длины.

Рис. 9.1. Блок-схема генетического алгоритма

Оценивание приспособленностихромосом в популяции состоит в расчете функции приспособленности для каждой хромосомы этой популяции. Чем больше значение этой функции, тем выше «качество» хромосомы. Форма функции приспособленности зависит от характера решаемой задачи.

Предполагается, что функция приспособленности всегда принимает неотрицательные значения и, кроме того, что для решения оптимизационной задачи требуется максимизировать эту функцию. Если исходная форма функции приспособленности не удовлетворяет этим условиям, то выполняется соответствующее преобразование (например, задачу минимизации функции можно легко свести к задаче максимизации).

Проверка условия остановки алгоритма.Определение условия остановки генетического алгоритма зависит от его конкретного применения. В оптимизационных задачах, если известно максимальное (или минимальное) значение функции приспособленности, то остановка алгоритма может произойти после достижения ожидаемого оптимального значения, возможно – с заданной точностью. Остановка алгоритма также может произойти в случае, когда его выполнение не приводит к улучшению уже достигнутого значения. Алгоритм может быть остановлен по истечении определенного времени выполнения либо после выполнения заданного количества итераций. Если условие остановки выполнено, то производится переход к завершающему этапу выбора «наилучшей» хромосомы. В противном случае на следующем шаге выполняется селекция.

Селекция хромосом заключается в выборе (по рассчитанным на втором этапе значениям функции приспособленности) тех хромосом, которые будут участвовать в создании потомков для следующей популяции, т.е. для очередного поколения. Такой выбор производится согласно принципу естественного отбора, по которому наибольшие шансы на участие в создании новых особей имеют хромосомы с наибольшими значениями функции приспособленности. Существуют различные методы селекции. Наиболее популярным считается так называемый метод рулетки (roulette wheel selection), который свое название получил по аналогии с известной азартной игрой. Каждой хромосоме может быть сопоставлен сектор колеса рулетки, величина которого устанавливается пропорциональной значению функции приспособленности данной хромосомы. Поэтому чем больше значение функции приспособленности, тем больше сектор на колесе рулетки. Все колесо рулетки соответствует сумме значений функции приспособленности всех хромосом рассматриваемой популяции. Каждой хромосоме, обозначаемой chi для i = 1, 2, .... N (где N обозначает численность популяции) соответствует сектор колеса v(chi), выраженный в процентах согласно формуле

(9.2)

 

где

(9.3)

причем F(chi) – значение функции приспособленности хромосомы chi, a ps(chi) – вероятность селекции хромосомы chi. Селекция хромосомы может быть представлена как результат поворота колеса рулетки, поскольку «выигравшая» (т.е. выбранная) хромосома относится к выпавшему сектору этого колеса. Очевидно, что чем больше сектор, тем больше вероятность «победы» соответствующей хромосомы. Поэтому вероятность выбора данной хромосомы оказывается пропорциональной значению ее функции приспособленности. Если всю окружность колеса рулетки представить в виде цифрового интервала [0, 100], то выбор хромосомы можно отождествить с выбором числа из интервала [а, b], где а и b обозначают соответственно начало и окончание фрагмента окружности, соответствующего этому сектору колеса; очевидно, что 0 ≤ а < b ≤ 100. В этом случае выбор с помощью колеса рулетки сводится к выбору числа из интервала [0, 100], которое соответствует конкретной точке на окружности колеса. Существуют и другие методы проведения селекции: турнирный метод, ранговая селекция и др.

В результате процесса селекции создается родительская популяция, также называемая родительским пулом (mating pool) с численностью N, равной численности текущей популяции.

Применение генетических операторов к хромосомам, отобранным с помощью селекции, приводит к формированию новой популяции потомков от созданной на предыдущем шаге родительской по­пуляции.

В классическом генетическом алгоритме применяются два основных генетических оператора: оператор скрещивания (crossover) и оператор мутации (mutation). Однако следует отметить, что оператор мутации играет явно второстепенную роль по сравнению с оператором скрещивания. Это означает, что скрещивание в классическом генетическом алгоритме производится практически всегда, тогда как мутация – достаточно редко. Вероятность скрещивания, как правило, достаточно велика (обычно 0,5 ≤ рс ≤ 1), тогда как вероятность мутации устанавливается весьма малой (чаще всего 0 ≤ рт0,1). Это следует из аналогии с миром живых организмов, где мутации происходят чрезвычайно редко.

В генетическом алгоритме мутация хромосом может выполняться на популяции родителей перед скрещиванием либо на популяции потомков, образованных в результате скрещивания.

1. Оператор скрещивания. На первом этапе скрещивания выбираются пары хромосом из родительской популяции (родительского пула). Это временная популяция, состоящая из хромосом, отобранных в результате селекции и предназначенных для дальнейших преобразований операторами скрещивания и мутации с целью формирования новой популяции потомков. На данном этапе хромосомы из родительской популяции объединяются в пары. Это производится случайным способом в соответствии с вероятностью скрещивания рс. Далее для каждой пары отобранных таким образом родителей разыгрывается позиция гена (локус) в хромосоме, определяющая так называемую точку скрещивания. Если хромосома каждого из родителей состоит из L генов, то очевидно, что точка скрещивания lk представляет собой натуральное число, меньшее L. Поэтому фиксация точки скрещивания сводится к случайному выбору числа из интервала [1, L-1]. В результате скрещивания пары родительских хромосом получается следующая пара потомков:

1) потомок, хромосома которого на позициях от 1 до lk состоит из генов первого родителя, а на позициях от lk + 1 до L – из генов второго родителя;

2) потомок, хромосома которого на позициях от 1 до lk состоит из генов второго родителя, а на позициях от lk + 1 до L – из генов первого родителя.

2. Оператор мутации с вероятностью рт изменяет значение гена в хромосоме на противоположное (т.е. с 0 на 1 или обратно). Например, если в хромосоме [100110101010] мутации подвергается ген на позиции 7, то его значение, равное 1, изменяется на 0, что приводит к образованию хромосомы [100110001010]. Как уже упоминалось выше, вероятность мутации обычно очень мала, и именно от нее зависит, будет данный ген мутировать или нет. Вероятность рт мутации может эмулироваться, например, случайным выбором числа из интервала [0, 1] для каждого гена и отбором для выполнения этой операции тех генов, для которых разыгранное число оказывается меньшим или равным значению рт.

Формирование новой популяции. Хромосомы, полученные в результате применения генетических операторов к хромосомам временной родительской популяции, включаются в состав новой популяции. Она становится так называемой текущей популяцией для данной итерации генетического алгоритма. На каждой очередной итерации рассчитываются значения функции приспособленности для всех хромосом этой популяции, после чего проверяется условие остановки алгоритма и либо фиксируется результат в виде хромосомы с наибольшим значением функции приспособленности, либо осуществляется переход к следующему шагу генетического алгоритма, т.е. к селекции. В классическом генетическом алгоритме вся предшествующая популяция хромосом замещается новой популяцией потомков, имеющей ту же численность.

Выбор «наилучшей» хромосомы. Если условие остановки алгоритма выполнено, то следует вывести результат работы, т.е. представить искомое решение задачи. Лучшим решением считается хромосома с наибольшим значением функции приспособленности.

В завершение следует признать, что генетические алгоритмы унаследовали свойства естественного эволюционного процесса, состоящие в генетических изменениях популяций организмов с течением времени.

Главный фактор эволюции – это естественный отбор (т.е. природная селекция), который приводит к тому, что среди генетически различающихся особей одной и той же популяции выживают и оставляют потомство только наиболее приспособленные к окружающей среде. В генетических алгоритмах также выделяется этап селекции, на котором из текущей популяции выбираются и включаются в родительскую популяцию особи, имеющие наибольшие значения функции приспособленности. На следующем этапе, который иногда называется эволюцией, применяются генетические операторы скрещивания и мутации, выполняющие рекомбинацию генов в хромосомах.

Операция скрещивания заключается в обмене фрагментами цепочек между двумя родительскими хромосомами. Пары родителей для скрещивания выбираются из родительского пула случайным образом так, чтобы вероятность выбора конкретной хромосомы для скрещивания была равна вероятности рс. Например, если в качестве родителей случайным образом выбираются две хромосомы из родительской популяции численностью N, то рс = 2/N. Аналогично, если из родительской популяции численностью N выбирается 2z хромосом (z ≤ N/2), которые образуют z пар родителей, то рс = 2z/N. Обратим внимание, что если все хромосомы текущей популяции объединены в пары до скрещивания, то рс = 1. После операции скрещивания родители в родительской популяции замещаются их потомками.

Операция мутации изменяет значения генов в хромосомах с за­данной вероятностью рт способом, представленным при описании соответствующего оператора. Это приводит к инвертированию значений отобранных генов с 0 на 1 и обратно. Значение рт, как правило, очень мало, поэтому мутации подвергается лишь небольшое количество генов. Скрещивание – это ключевой оператор генетических алгоритмов, определяющий их возможности и эффективность. Мутация играет более ограниченную роль. Она вводит в популяцию некоторое разнообразие и предупреждает потери, которые могли бы произойти вследствие исключения какого-нибудь значимого гена в результате скрещивания.

Основной (классический) генетический алгоритм известен в литературе в качестве инструмента, в котором выделяются три вида операций: репродукции, скрещивания и мутации. Термины селекция и репродукция в данном контексте используются в качестве синонимов. При этом репродукция в данном случае связывается скорее с созданием копий хромосом родительского пула, тогда как более распространенное содержание этого понятия обозначает процесс формирования новых особей, происходящих от конкретных родителей. Если мы принимаем такое толкование, то операторы скрещивания и мутации могут считаться операторами репродукции, а селекция – отбором особей (хромосом) для репродукции.

Иллюстрация выполнения классического генетического алгоритма

 

Рассмотрим выполнение описанного в предыдущем разделе классического генетического алгоритма на как можно более простом примере. Проследим последовательность выполнения его этапов, соответствующих блок-схеме на рис.9.1.