Вращение вокруг следа плоскости, или совмещение

Совмещение - частный случай вращения геометрических элементов вокруг горизонтали или фронтали, когда осью вращения является горизонтальный или фронтальный следы плоскости.

При совмещении с плоскостью проекций геометрическая фигура отобразиться на ней в натуральную величину.

Покажем совмещение плоскости Р(Р₁,Р₂) с плоскостью П₁ (рис. 5.16). Так как горизонтальный след плоскоти Р₁ -ось вращения, то его положение и положение точки схода следов Р_Х не меняется. Для нахождения Р₂ в совмещённом положении на нём взята произвольная точка N (N₁, N₂) и найдено новое её положение, совмещённое с плоскостью проекций П₁.

Точка N при вращении перемещается в плоскости Q перпендикулярной оси вращения i º P₁ по дуге окружности радиуса r = ON.

Фронтальный след плоскости в совмещённом положении Р₂⁰ проводим через точки P_X и N⁰. При этом отрезок ON⁰ является натуральной величиной радиуса вращения r. На комплексном чертеже натуральная величина радиуса вращения найдена способом прямоугольного треугольника, практически же натуральная величина r - радиуса вращения точки N не определяют, т.к. отрезок [P_XN₂] равен отрезку [P_XN₂⁰]. Поэтому для нахождения точки N₂⁰ достаточно провести дугу радиуса P_XN₂ до пересечения с перпендикуляром из N₁ к P₁ (к оси вращения i).

Рис. 5.16.

Покажем совмещение заданной плоскости Р(Р₁, Р₂) и принадлежащей ей некоторой точки А с горизонтальной плоскостью проекций П₁ (рис. 5.17). Для этого вначале найдём совмещённое с П₁ положение Р₂, а затем совмещенное положение g⁰ горизонтали g на которой находится точка А.

При совмещении плоскости Р(Р₁, Р₂) и принадлежащей ей точки А с фронтальной плоскостью проекций П₂ рекомендуется использовать фронталь f (рис. 5.18).

Рис. 5.17. Рис. 5.18.

Чтобы найти истинную величину плоской фигуры способом совмещения, нужно совместить с одной из плоскостей проекций ряд характерных точек её периметра.

На рис. 5.19 представлены комплексные чертежи плоскостей Р(Р₁, Р₂) частного положения (соответственно, две плоскости горизонтально проецирующего и две плоскости фронтально проецирующего положения) и принадлежащей ей точки А и их совмещение с плоскостями проекций П₁ и П₂.

Рис. 5.19.

5.3. Пример выполнения графической работы «Преобразование проекций»

Даны координаты вершин пирамиды SАВС.

Требуется: определить двугранный угол при ребре SA – угол между смежными гранями пирамиды методом ЗПП.

Эта задачи решается на комплексном чертеже листа формата АЗ.

Исходные данные

Числовые данные варианта взять из приложения 11.2. Номер варианта выдается преподавателем.

Оформление данной графической работы указано в прил. 11.1.

1) Выполнение построений на чертеже начинают с проработки соответствующей темы данного учебного пособия и лекционного материала.

2) По числовым значениям X и Z , X и Y координат точек вершин пирамиды строятся фронтальные и горизонтальные проекции граней пирамиды SАВ и SАС, показывая видимость их сторон.

Преобразование комплексного чертежа методом замены плоскостей проекций (ЗПП) осуществляется относительно линии пересечения двух плоскостей – ребра SA, которое является общим для двух пересекающихся граней (SАВ и SАС). Угол, образованный двумя плоскостями Р (ΔSАВ) и Q (ΔSАС), измеряется плоским углом γ, расположенным в плоскости перпендикулярной прямой SA, по которой пересекаются плоскости.

Мерой двухплоскостного (двугранного) угла служит линейный угол γ, образованный ортогональным проецированием его на плоскость, перпендикулярную к прямой SA, являющейся линией пересечения двух плоскостей P и Q (рис. 5.20).

В случае, приведенном на рис. 5.20, ребро SA двухплоскостного угла –

прямая общего положения. Поэтому для преобразования проекции угла так, чтобы его основание SA стало перпендикулярно к новой плоскости проекций, потребуется выполнить две замены плоскостей проекций (с переводом SA в положение уровня, а затем в проецирующее положение).

Сначала спроецируем угол на новую горизонтальную плоскость проекций П_4, перпендикулярную к плоскости П₁ и параллельную прямой пересечения SA. Новую ось проекций Х₂ проводим параллельно сохраняемой проекции S₂A₂. Для получения проекций треугольников SAB и SAC на плоскость П₄ опускаем из точек S₁, A₁, C₁ и B₁ перпендикуляры на ось Х₂ и откладываем от нее на продолжении этих перпендикуляров координаты "Z" точек S, A, B и C, беря их как расстояние проекций S₂. A₂, B₂ и C₂ до оси ОХ. Прямая пересечения SA двух плоскостей cпроецируется на П₄ в натуральную величину (S₄A₄ = SA).

Затем введем новую фронтальную плоскость проекций П_5, перпендикулярную к плоскости П₄ и прямой SA. Новую ось Х₃ системы плоскостей проекций П₄/П₅ проводим перпендикулярно к проекции S₄A₄. Прямая SA на плоскость П₅ проецируется в точку S₅ ≡ A₅. Построив проекции B₅ и C₅ точек C и B (расстояния точек A₅, S₅, B₅ и C₅ от оси Х₃ равны расстояниям точек A_1, S_1, B₁ и C₁ до оси Х₂), соединяем их прямыми с точкой S₅ ≡ A₅. Линейный угол B₅S₅C₅ является величиной искомого двухплоскостного угла между плоскостями треугольников SАВ и SАС.

Как полученные, так и исходные данные следует отобразить в работе в виде таблиц произвольного размера, расположенных в свободном поле чертежа. Пример выполнения третьего задания графической работы приведен на рис . 5.20.

Рис. 5.20. Пример выполнения графической работы «Преобразование проекций».

5.4 Пример выполнения графической работы «Пересечение плоскостей»

Даны две пересекающиеся плоскости Р и Q заданные треугольниками АВС и SЕD; координаты вершин треугольников А, В, С, S: Е и D определены при выполнении графической работы «Плоскости». Требуется:

1) по координатам точек вершин треугольников АВС и SЕD построить их фронтальные и горизонтальные проекции;

2) построить линию пересечения плоскостей;

3) определить угол пересечения плоскостей.

Эти задачи решаются на одном комплексных чертежах листа формата АЗ.

Исходные данные

Числовые данные варианта взять из приложения 11.2, и с графической работы «Плоскости». Номер варианта выдается преподавателем.

Оформление данной графической работы указано в прил. 11.1.

1) Выполнение построений на чертеже начинают с проработки соответствующей темы данного учебного пособия и лекционного материала.

2) По числовым значениям X и Z , X и Y координат точек вершин треугольников АВС и SЕD строятся их фронтальные и горизонтальные проекции. Одноименные проекции вершин соединяются прямыми линиями. Показывается видимость сторон треугольников, с помощью метода конкурирующих точек (п. 3.6).

3) Линию пересечения двух треугольников строят по точкам пересечения сторон одного треугольника с другим или по точкам пересечения каждой из сторон одного треугольника с другим. Линию пересечения можно также построить, используя вспомогательные секущие плоскости проецирующего положения - или положения уровня. Например, для определения линии пересечения треугольников АВС и SDЕ вводим вспомогательную плоскость горизонтального уровня R (на рис.5.21 показан ее фронтальный след R₂). Эта плоскость, пересекает треугольники в точках С,1, 2, 3, образуя две линии пересечения – С-1 и 2-3. Там, где пересеклись их горизонтальные проекции, отметили горизонтальную проекцию N₁ точки пересечения двух треугольников N, а поднявшись вверх по ЛПС до следа R₂ - фронтальную N₂. Вторую точку пересечения треугольников - М можно определить аналогично, введением еще одной вспомогательной плоскости уровня. В рассмотренном же примере (рис 5.21) вторую точку М определяли по точкам пересечения стороны DS треугольника SDE со сторонами СВ и АВ треугольника АВС. Фронтальная проекция стороны D₂S₂ пересекается с фронтальными проекциями сторон С₂В₂ и А₂В₂ в точках 4₂ и 5₂. А в пересечение горизонтальных проекций D₁S₁ и полученной прямой 4₁5₁ отметим горизонтальную проекцию точки М_1.. Фронтальную проекцию М₂ отметим на стороне D2S2 по ЛПС от точки М₁. Соединив одноименные проекции точек M и N получим проекции линии пересечения двух треугольников М₁N₁ и М₂N₂.

4) Угол, образованный двумя плоскостями Р и Q измеряется плоским углом. расположенным в плоскости перпендикулярной прямой, по которой пересекаются плоскости. Рассмотрим определение натуральной величины угла между плоскостями, заданными треугольниками АВС и SЕD (рис.5.21).

Мерой двухплоскостного угла служит линейный угол, образованный ортогональным проецированием его на плоскость, перпендикулярную к прямой их пересечения МN (рис. 5.21).

Сначала проецируем угол на плоскость П₄ перпендикулярную к плоскости П₂ и параллельную прямой пересечения МN. Новую ось проекций Х₂ проводим параллельно сохраняемой проекции М₂N₂. Для получения проекций треугольников АВС и SЕD на плоскость П₄ опускаем из точек А₂ В₂ С₂ S₂ Е₂ D ₂, перпендикуляры на ось Х₂ и откладываем от нее на продолжении этих перпендикуляров координаты "Y" точек А, В, С, S, Е, D, беря их как расстояние от проекций А₁В₁С₁S₁Е₁ и D₁ до оси ОХ. Прямая пересечения МN двух плоскостей cпроецируется на П₄ в натуральную величину (М₄N₄=МN).

Вводим новую плоскость проекций П₅. перпендикулярную к плоскости П₄ и к прямой МN. Новую ось Х₃ системы плоскостей проекций П₄/П₅ проводим перпендикулярно к проекции М₄N₄. Прямая МN на плоскость П₅ спроецируется в точку М₅ ≡ N₅. Построив проекции А₅ В₅ С₅ S₅ Е₅ и D ₅ точек А, В, С, S, Е, D (расстояния точек М₅, N_б, К₅ и L₅ от оси Х₃ равны расстояниям точек М₂, N₂, К₂ и L₂ до оси Х₂), соединяем прямыми точки принадлежащие каждому из треугольников (отдельно точки А, В, С и точки S, D, E). При правильном построении две полученные проекции треугольников А₅В₅С₅ и S₅Е₅D₅ (прямые) пересекутся в точке М₅=N₅. Линейный угол А₅М₅S₅ является величиной искомого двухплоскостного угла между плоскостями треугольников АВС и SЕD.

Как полученные, так и исходные данные следует отобразить в работе в виде таблиц произвольного размера, расположенных в свободном поле чертежа. Пример выполнения третьего задания графической работы представлен на рис. 5.21.