Интегрирование тригонометрических выражений

Алгоритм разложения на простейшие дроби

Пусть требуется разложить на простейшие дроби правильную дробь

Выполним следующие действия:

1) разложим знаменатель на множители:

2) каждому “линейному” множителю поставим в соответствие сумму простейших дробей типа

а каждому “квадратичному” множителю поставим в соответствие дробей типа

Сделав это для каждого множителя знаменателя запишем тождество

3) Умножив обе части этого тождества на знаменатель получим тождество двух многочленов. Приравнивая в нем коэффициенты при одинаковых степенях получим линейную алгебраическую систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов решая которую (например, методом Гаусса), найдем эти

коэффициенты. Подставляя их в (3), получим разложение дроби на простейшие дроби.

Например, разложим дробь на простейшие.

Так как то представляется в виде

где коэффициенты пока не найдены. Приводя правую часть к общему знаменателю, а затем отбрасывая в обеих частях одинаковые знаменатели, получим тождество

Можно было бы приравнять здесь коэффициенты при одинаковых степенях (начиная с ), а затем решить полученную систему уравнений относительно Но мы поступим проще. Применим так называемый метод частных значений.

Так как (5) – тождество, то оно верно при любых значениях Удобно выбрать значение При этом из (5) получаем равенство откуда выводим, что Далее подставляем в (4) и переносим все первые слагаемые влево; будем иметь

Разделив обе части этого тождества на получим

Полагая здесь снова будем иметь и последнее равенство перепишется в виде Отсюда сразу же находим Следовательно, все коэффициенты разложения (4) найдены и мы получаем

ответ:

Из теоремы 5 вытекает, что интегрирование правильных алгебраических дробей сводится к их разложению на простейшие дроби и последующему интегрированию последних. Займемся задачей интегрирования простейших дробей.

Дроби типа интегрируются очевидным образом:

Дробь типа интегрируется следующим образом:

Дробь типа интегрируется сложнее. Сначала производятся все операции, применяемые при интегрировании дроби типа а затем используется рекуррентная формула

Например,

В заключение предлагаем вычислить самостоятельно интеграл

и получить ответ:

Интегралы типа где дробно-рациональная функция пе-

ременных и , сводятся к интегрированию рациональной функции одной переменной

с помощью универсальной подстановки Действительно, тогда

поэтому где дробно-рациональная функция одной переменной. К последнему интегралу можно уже применить алгоритм разложения на простейшие дроби и свести дело к интегрированию простейших дробей типа Однако не всегда удобно пользоваться универсальной подстановкой, так как она часто приводит к громоздким выкладкам. Иногда удобно пользоваться частными типами подстановок, которые мы приводим ниже.

И, наконец, интегралы типа

преобразуются в интегралы от синусов и косинусов с помощью формул тригонометрии:

Вычислим, например, интегралы:

Лекция 7. Несобственные интегралы первого рода. Приложения интегралов: вычисление площадей, длин дуг и объёмов тел